1. Para y=\left(x^{2}-4\right) /(x-1), determine domínio, assíntotas e esboce o comportamento em x \rightarrow \pm \infty.

Passo 1

O enunciado dá a função racional
y = \frac{x^{2} - 4}{x - 1}
e pede para determinar o domínio, as assíntotas e descrever o comportamento de y quando x \to \pm\infty. Vamos usar conceitos de ponto de descontinuidade em função racional (para o domínio e assíntota vertical), divisão de polinômios (para encontrar assíntota oblíqua) e limites no infinito (para o comportamento assintótico).

Passo 2

Para achar o domínio, identificamos o denominador x-1. A única proibição é quando x-1=0, isto é, x=1. Logo o domínio é
(-\infty,1)\,\cup\,(1,\infty).
Como a função fica infinita em x=1, temos ali uma assíntota vertical dada por x=1.

Passo 3

Para encontrar a assíntota oblíqua, dividimos o polinômio x^{2}-4 por x-1. Fazendo a divisão:
\frac{x^{2}-4}{x-1} = x + 1 \;+\;\frac{-3}{x-1}.
Isto mostra que, para x grande,
y = x+1 \;+\;\frac{-3}{x-1}
e portanto a reta
y = x + 1
é a assíntota oblíqua.

Passo 4

Para confirmar o comportamento em x\to\pm\infty, analisamos o termo \frac{-3}{x-1}. Como
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{-3}{x-1} = 0,
segue que
\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(y - (x+1)\bigr) = 0.
Em particular, quando x\to+\infty, y\to+\infty seguindo apropriadamente a reta y=x+1, e quando x\to-\infty, y\to-\infty também se aproximando dessa mesma reta.

Resposta

Domínio: \,(-\infty,1)\cup(1,\infty)
Assíntota vertical: x=1
Assíntota oblíqua: y=x+1
Comportamento em x\to\pm\infty: y cresce (ou decresce) indefinidamente aproximando-se da reta y=x+1.

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