- Para
, determine domínio, assíntotas e esboce o comportamento em
.
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede para determinar o domínio, as assíntotas e descrever o comportamento de
quando
. Vamos usar conceitos de ponto de descontinuidade em função racional (para o domínio e assíntota vertical), divisão de polinômios (para encontrar assíntota oblíqua) e limites no infinito (para o comportamento assintótico).
Passo 2
Para achar o domínio, identificamos o denominador
. A única proibição é quando
, isto é,
. Logo o domínio é
Como a função fica infinita em
, temos ali uma assíntota vertical dada por
Passo 3
Para encontrar a assíntota oblíqua, dividimos o polinômio
por
. Fazendo a divisão:
Isto mostra que, para
grande,
e portanto a reta
é a assíntota oblíqua.
Passo 4
Para confirmar o comportamento em
, analisamos o termo
. Como
segue que
Em particular, quando
,
seguindo apropriadamente a reta
, e quando
,
também se aproximando dessa mesma reta.
Resposta
Domínio:
Assíntota vertical:
Assíntota oblíqua:
Comportamento em :
cresce (ou decresce) indefinidamente aproximando-se da reta
.
Assíntota vertical:
Assíntota oblíqua:
Comportamento em