Encontre e faça um esboço dos domínios das seguintes funções:
f(x, y)=\ln \left(9-x^{2}-9 y^{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x,y)=\ln\!\left(9-x^{2}-9y^{2}\right)
e pede duas coisas: (1) encontrar o domínio dessa função e (2) fazer um esboço do domínio no plano (x,y).
As informações relevantes que temos do enunciado são a expressão dentro do \ln, ou seja 9-x^{2}-9y^{2}, e que a variável independente é o par (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Entendendo o que a função pede (uma mini-aula sobre \ln): a função logaritmo natural \ln(t) está definida apenas para argumentos positivos. Isso significa que, para \ln\!\left(9-x^{2}-9y^{2}\right) ser um número real, o valor dentro do \ln precisa ser estritamente maior que zero. Em símbolos, precisamos da condição
9-x^{2}-9y^{2}>0.
Explico: se o argumento fosse zero ou negativo, \ln não seria um número real (não existe \ln(0) e \ln de número negativo é complexo), então descartamos esses pontos.

Passo 3

Agora vamos manipular a desigualdade passo a passo para escrevê‑la numa forma geométrica conhecida. Partimos de
9-x^{2}-9y^{2}>0.
Somamos x^{2}+9y^{2} aos dois lados:
9> x^{2}+9y^{2}.
É comum escrever a desigualdade com o lado esquerdo positivo como soma de termos divididos por constantes. Dividindo ambos os lados por 9 (que é positivo, então a desigualdade mantém o sentido), obtemos
1> \frac{x^{2}}{9}+y^{2}.
Reescrevendo numa forma mais habitual:
\frac{x^{2}}{9}+y^{2}<1.

Passo 4

Interpretação geométrica (mini‑aula sobre elipse): a inequação
\frac{x^{2}}{9}+y^{2}<1
descrita acima representa o interior de uma elipse centrada na origem. Para ver os semieixos, note que podemos escrever 9=3^{2}, então
\frac{x^{2}}{3^{2}}+\frac{y^{2}}{1^{2}}<1.
Isto diz que a elipse tem semi‑eixo horizontal a=3 (interceptos x=\pm 3 quando y=0) e semi‑eixo vertical b=1 (interceptos y=\pm 1 quando x=0). Como a desigualdade é estrita ``<’’, a fronteira (a própria elipse onde \frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1) não faz parte do domínio — ela corresponde ao argumento zero de \ln, que não é permitido.

Passo 5

Como reforço prático, testemos alguns pontos para fixar a ideia:
  • Ponto (0,0): \frac{0^{2}}{9}+0^{2}=0<1, logo está no domínio; de fato f(0,0)=\ln(9) é válido.
  • Ponto (3,0): \frac{3^{2}}{9}+0^{2}=1, está na fronteira e portanto não está no domínio (aí 9-x^{2}-9y^{2}=0 e \ln(0) não existe).
  • Ponto (4,0): \frac{4^{2}}{9}=\frac{16}{9}>1, está fora da elipse; aí 9-x^{2}-9y^{2}<0 e o \ln não é real.

Passo 6

Instruções para desenhar o esboço (passo a passo prático para a prova):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque os pontos (3,0) e (-3,0) no eixo x e os pontos (0,1) e (0,-1) no eixo y.
  3. Desenhe uma elipse passando por esses quatro pontos; essa é a fronteira onde \frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1.
  4. Como a desigualdade é estrita, trace a fronteira pontilhada (ou trace normal e deixe claro que a fronteira NÃO está incluída) e sombreie a região interna da elipse — essa região sombreada é o domínio.
    Inclua uma legenda curta se precisar: região interna da elipse centrada na origem com semi‑eixos 3 e 1.

Resposta

\displaystyle D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+9y^{2}<9\}
Esboço: região interior da elipse \displaystyle \frac{x^{2}}{9}+y^{2}<1, com semi‑eixos a=3 (horizontal) e b=1 (vertical); a fronteira \frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1 não pertence ao domínio.

Exercícios relacionados