Encontre e faça um esboço dos domínios das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede duas coisas: (1) encontrar o domínio dessa função e (2) fazer um esboço do domínio no plano
.
As informações relevantes que temos do enunciado são a expressão dentro do , ou seja
, e que a variável independente é o par
.
As informações relevantes que temos do enunciado são a expressão dentro do
Passo 2
Entendendo o que a função pede (uma mini-aula sobre
): a função logaritmo natural
está definida apenas para argumentos positivos. Isso significa que, para
ser um número real, o valor dentro do
precisa ser estritamente maior que zero. Em símbolos, precisamos da condição
Explico: se o argumento fosse zero ou negativo,
não seria um número real (não existe
e
de número negativo é complexo), então descartamos esses pontos.
Passo 3
Agora vamos manipular a desigualdade passo a passo para escrevê‑la numa forma geométrica conhecida. Partimos de
Somamos
aos dois lados:
É comum escrever a desigualdade com o lado esquerdo positivo como soma de termos divididos por constantes. Dividindo ambos os lados por
(que é positivo, então a desigualdade mantém o sentido), obtemos
Reescrevendo numa forma mais habitual:
Passo 4
Interpretação geométrica (mini‑aula sobre elipse): a inequação
descrita acima representa o interior de uma elipse centrada na origem. Para ver os semieixos, note que podemos escrever
, então
Isto diz que a elipse tem semi‑eixo horizontal
(interceptos
quando
) e semi‑eixo vertical
(interceptos
quando
). Como a desigualdade é estrita ``<’’, a fronteira (a própria elipse onde
) não faz parte do domínio — ela corresponde ao argumento zero de
, que não é permitido.
Passo 5
Como reforço prático, testemos alguns pontos para fixar a ideia:
- Ponto
: , logo está no domínio; de fato é válido. - Ponto
: , está na fronteira e portanto não está no domínio (aí e não existe). - Ponto
: , está fora da elipse; aí e o não é real.
Passo 6
Instruções para desenhar o esboço (passo a passo prático para a prova):
- Desenhe os eixos
e . - Marque os pontos
e no eixo e os pontos e no eixo . - Desenhe uma elipse passando por esses quatro pontos; essa é a fronteira onde
. - Como a desigualdade é estrita, trace a fronteira pontilhada (ou trace normal e deixe claro que a fronteira NÃO está incluída) e sombreie a região interna da elipse — essa região sombreada é o domínio.
Inclua uma legenda curta se precisar: região interna da elipse centrada na origem com semi‑eixose .
Resposta
Esboço: região interior da elipse