Portanto, heurísticamente, espera-se que \operatorname{sen}(x-y)\to \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1 e y\to \tfrac{\pi}{2}, o que sugere que o produto tende a \tfrac{\pi}{2}\cdot 1=\tfrac{\pi}{2}. Agora vou justificar isso rigorosamente usando o conceito de continuidade.
Passo 3
Explicando continuidade de maneira prática (mini-aula):
Uma função de uma variável g(t) é contínua num ponto t_0 se \lim_{t\to t_0} g(t)=g(t_0). Exemplos simples: polinômios, somas, diferenças, produtos e composições de funções contínuas são contínuas.
A função \operatorname{sen}(u) é contínua para todo u\in\mathbb{R}. Logo, se u(x,y)=x-y é contínua em (\pi,\pi/2), então \operatorname{sen}(u(x,y)) também é contínua nesse ponto (composição de contínuas).
A função (x,y)\mapsto y é contínua em todo lugar (é simplesmente a projeção na segunda coordenada).
O produto de funções contínuas é contínuo.
Aplicando isso aqui:
u(x,y)=x-y
é contínua (diferença de projeções contínuas), então
\operatorname{sen}(x-y)
é contínua em (\pi,\pi/2). Como y é contínua e o produto preserva continuidade, f(x,y)=y\operatorname{sen}(x-y) é contínua em (\pi,\pi/2).
Passo 4
Conseqüência direta da continuidade: se f é contínua em (\pi,\pi/2), o limite da função quando (x,y)\to(\pi,\pi/2) é simplesmente o valor da função naquele ponto:
Breve observação alternativa (intuição epsilon–delta, sem formalidade completa): para (x,y) suficientemente perto de (\pi,\pi/2) temos y perto de \tfrac{\pi}{2} e \operatorname{sen}(x-y) perto de 1. O produto de algo próximo de \tfrac{\pi}{2} por algo próximo de 1 fica próximo de \tfrac{\pi}{2}. Isso confirma de maneira intuítiva o resultado anterior baseado em continuidade.