Encontre o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(\pi, \pi / 2)} y \operatorname{sen}(x-y).

Passo 1

O problema pede o valor, se existir, do seguinte limite quando (x,y) se aproxima de (\pi,\pi/2):
\lim_{(x,y)\to(\pi,\pi/2)} y\,\operatorname{sen}(x-y).
Informações dadas:
\text{a função }f(x,y)=y\,\operatorname{sen}(x-y),çã
o ponto de interesse é (x,y)=(\pi,\pi/2) e devemos decidir se o limite existe e, se existir, calcular seu valor.

Passo 2

Reescrevo a função de forma que fique claro o que acontece ao aproximar (x,y) do ponto:
f(x,y)=y\cdot \operatorname{sen}(x-y).
Quando (x,y)\to(\pi,\pi/2) temos duas coisas que acontecem simultaneamente:
y\to \frac{\pi}{2}\quad\text{e}\quad x-y\to \pi-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}.
Portanto, heurísticamente, espera-se que \operatorname{sen}(x-y)\to \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1 e y\to \tfrac{\pi}{2}, o que sugere que o produto tende a \tfrac{\pi}{2}\cdot 1=\tfrac{\pi}{2}. Agora vou justificar isso rigorosamente usando o conceito de continuidade.

Passo 3

Explicando continuidade de maneira prática (mini-aula):
  • Uma função de uma variável g(t) é contínua num ponto t_0 se \lim_{t\to t_0} g(t)=g(t_0). Exemplos simples: polinômios, somas, diferenças, produtos e composições de funções contínuas são contínuas.
  • A função \operatorname{sen}(u) é contínua para todo u\in\mathbb{R}. Logo, se u(x,y)=x-y é contínua em (\pi,\pi/2), então \operatorname{sen}(u(x,y)) também é contínua nesse ponto (composição de contínuas).
  • A função (x,y)\mapsto y é contínua em todo lugar (é simplesmente a projeção na segunda coordenada).
  • O produto de funções contínuas é contínuo.
Aplicando isso aqui:
u(x,y)=x-y
é contínua (diferença de projeções contínuas), então
\operatorname{sen}(x-y)
é contínua em (\pi,\pi/2). Como y é contínua e o produto preserva continuidade, f(x,y)=y\operatorname{sen}(x-y) é contínua em (\pi,\pi/2).

Passo 4

Conseqüência direta da continuidade: se f é contínua em (\pi,\pi/2), o limite da função quando (x,y)\to(\pi,\pi/2) é simplesmente o valor da função naquele ponto:
\lim_{(x,y)\to(\pi,\pi/2)} y\,\operatorname{sen}(x-y)=f\!\left(\pi,\tfrac{\pi}{2}\right).
Agora calculo f no ponto dado passo a passo:
x-y\Big|_{(x,y)=(\pi,\pi/2)}=\pi-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2},
\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,
y\Big|_{(x,y)=(\pi,\pi/2)}=\frac{\pi}{2},
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f\!\left(\pi,\tfrac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}\cdot 1=\frac{\pi}{2}.

Passo 5

Breve observação alternativa (intuição epsilon–delta, sem formalidade completa): para (x,y) suficientemente perto de (\pi,\pi/2) temos y perto de \tfrac{\pi}{2} e \operatorname{sen}(x-y) perto de 1. O produto de algo próximo de \tfrac{\pi}{2} por algo próximo de 1 fica próximo de \tfrac{\pi}{2}. Isso confirma de maneira intuítiva o resultado anterior baseado em continuidade.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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