Faça um esboço das curvas de nível das funções a seguir. f(x, y)=y-\arctan x.
Passo 1
O enunciado pede um esboço das curvas de nível da função \,f(x,y)=y-\arctan x\,.
Informações dadas: a expressão explícita de f em termos de x e y.
Pergunta: encontrar e esboçar as curvas de nível, ou seja, os conjuntos de pontos (x,y) tais que f(x,y)=C para constantes C\in\mathbb{R}.
Passo 2
O que é uma curva de nível (explicação didática): uma curva de nível para um valor fixo C é o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem a equação
f(x,y)=C.
Na prova: você substitui f por sua expressão e resolve para y em função de x (ou o contrário) para obter a forma da curva.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso f: escrevemos a equação da curva de nível para uma constante qualquer C:
y-\arctan x = C.
Agora isolamos y para ver a forma explícita da curva.
Passo 4
Isolando y obtemos
y = \arctan x + C.
Portanto cada curva de nível é o gráfico da função x\mapsto \arctan x deslocado verticalmente de uma quantidade C.
Passo 5
Vamos estudar a função base \arctan x para entender a forma das curvas:
\arctan x é uma função ímpar e crescente em todo \mathbb{R}. Isso significa que para x_1<x_2 temos \arctan x_1<\arctan x_2.
Limites (assíntotas horizontais):
\lim_{x\to+\infty}\arctan x = \frac{\pi}{2},\qquad \lim_{x\to-\infty}\arctan x = -\frac{\pi}{2}.
Logo o gráfico de \arctan x tem uma forma de “S” suavizada, aproximando-se horizontalmente de \pm\frac{\pi}{2}.
Passo 6
Como as curvas de nível são y=\arctan x + C, cada valor de C apenas soma uma constante vertical:
Para dado C, as assíntotas horizontais são
y = C + \frac{\pi}{2}\quad\text{e}\quad y = C - \frac{\pi}{2}.
Portanto cada curva é uma S deslocada verticalmente, com as mesmas assíntotas relativas ao seu C.
Passo 7
Derivada e inclinação das curvas (ajuda a desenhar): derivando a expressão de y em relação a x,
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}.
Interpretação prática:
\frac{dy}{dx}>0 sempre, ou seja, cada curva é estritamente crescente.
\frac{dy}{dx} atinge o máximo em x=0, com \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0}=1.
Para |x|\to\infty, \frac{dy}{dx}\to 0, as curvas ficam cada vez mais horizontais (coerente com as assíntotas).
Passo 8
Propriedades geométricas importantes (úteis na prova):
Curvas para valores diferentes C_1\neq C_2 são translações verticais e não se intersectam (pois seriam duas alturas diferentes da mesma função em mesmo x).
A família y=\arctan x + C com C\in\mathbb{R} preenche o plano: para todo ponto (x,y) existe um C=y-\arctan x que o coloca numa curva de nível.
O gradiente de f é dado por
\nabla f(x,y)=\left(-\frac{1}{1+x^2},\,1\right).
O gradiente é perpendicular às curvas de nível e aponta na direção de aumento de f. (Isto é útil se te pedirem tangentes ou normais.)
Passo 9
Como esboçar na prática (passos para desenhar à mão, sem calculadora):
Desenha a curva base y=\arctan x: passa por (0,0), aumenta suavemente, com inclinação 1 em x=0, aproximando-se de y=\pm\frac{\pi}{2} para x\to\pm\infty.
Desenha cópias da curva deslocadas verticalmente para alguns valores de C (por exemplo C= -1,0,1). Cada uma terá a mesma forma, apenas mais alta ou mais baixa.
Marca as assíntotas horizontais correspondentes para cada curva: para a curva com constante C as assíntotas são y=C\pm\frac{\pi}{2}.
Observe que as curvas são monotônicas crescentes e nunca se cruzam.
Passo 10
Exemplos concretos para visualizar (pegue esses ao desenhar):
Para C=0: y=\arctan x. Passa por (0,0), assíntotas y=\pm\frac{\pi}{2}.
Para C=1: y=\arctan x+1. Igual à anterior, mas deslocada para cima em 1. Assíntotas y=1\pm\frac{\pi}{2}.
Para C=-1: y=\arctan x-1. Igual, deslocada para baixo em 1. Assíntotas y=-1\pm\frac{\pi}{2}.
Passo 11
Resumo rápido e motivacional: cada curva de nível é uma cópia vertical da clássica função arco-tangente; sabendo a forma de \arctan x (S suave, crescente, assíntotas em \pm\pi/2) você desenha toda a família apenas trocando a altura C. Vai dar certo — começa pelo C=0 e copia para cima/baixo!