Encontre e faça um esboço ou gráfico de f(t) se \mathscr{L}(f) for igual a:
e^{-\pi s} /(s^{2}+2 s+2)

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace
\mathscr{L}\{f\}(s)=\frac{e^{-\pi s}}{s^{2}+2s+2}
e pede para encontrar f(t) e fazer um esboço/gráfico. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Aparece o fator exponencial e^{-\pi s} multiplicando uma função racional em s.
  • O denominador é s^{2}+2s+2.
  • A pergunta é única: encontrar f(t) (a função no domínio do tempo) e esboçá-la.

Passo 2

Teorema do deslocamento no tempo (explicação didática): se temos uma função g(t) com transformada \mathscr{L}\{g\}(s)=G(s), então para qualquer constante a>0 vale
\mathscr{L}\{u(t-a)\,g(t-a)\}(s)=e^{-a s}G(s),
onde u(t-a) é a função degrau unitário deslocada (ou Heaviside): u(t-a)=0 para t<a e u(t-a)=1 para t\ge a. Isso significa, na prática, que multiplicar G(s) por e^{-a s} corresponde a atrasar no tempo a função g(t): a forma no tempo passa a ser zero até t=a e depois segue igual a g deslocada, isto é g(t-a) para t\ge a.
Observação intuitiva: o fator e^{-a s} não muda a “forma” temporal básica g, apenas a desloca para a direita em a unidades.

Passo 3

Aplicando a ideia do passo anterior: a parte sem o fator de atraso é
G(s)=\frac{1}{s^{2}+2s+2}.
Vamos achar a transformada inversa de G(s). Primeiro completamos o quadrado no denominador:
s^{2}+2s+2=(s+1)^{2}+1.
Portanto
G(s)=\frac{1}{(s+1)^{2}+1}.
Conhecimento padrão (explicado): a transformada de Laplace da função e^{-a t}\sin(bt) é
\mathscr{L}\{e^{-a t}\sin(bt)\}(s)=\frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}}.
Aqui podemos identificar a=1 e b=1. Como b=1, temos exatamente
\frac{1}{(s+1)^{2}+1}=\mathscr{L}\{e^{-t}\sin t\}(s).
Portanto a inversa é
g(t)=e^{-t}\sin t\quad\text{para }t\ge 0.
Explicação do que cada símbolo significa: em e^{-t}\sin t, o fator e^{-t} é uma decaída exponencial com constante de tempo 1 (faz a amplitude diminuir conforme t cresce) e \sin t é a oscilação (período 2\pi). O produto dá uma oscilaçao amortecida.

Passo 4

Agora voltamos ao fator de atraso e^{-\pi s}. Pelo teorema do passo 2, isso corresponde a deslocar g(t) em \pi. Assim
f(t)=u(t-\pi)\,g(t-\pi).
Substituindo g,
f(t)=u(t-\pi)\,e^{-(t-\pi)}\sin(t-\pi).
Escrevendo de forma peça‑wise (útil na prova):
f(t)=\begin{cases} 0, & t<\pi,\\[4pt] e^{-(t-\pi)}\sin(t-\pi), & t\ge \pi. \end{cases}]

Passo 5

Vamos interpretar e dar dicas para o esboço (passo a passo para desenhar no papel sem calculadora):
  • A função é zero até t=\pi. Em t=\pi ela começa (valor inicial igual a zero porque \sin 0=0).
  • Para t>\pi é a função e^{-u}\sin u com u=t-\pi. Então basta desenhar e^{-u}\sin u para u\ge 0 e deslocar tudo para a direita em \pi.
  • Zeros: ocorrem quando \sin(t-\pi)=0, ou seja quando t-\pi=k\pi (com k\in\mathbb{Z}_{\ge 0}). Assim os primeiros zeros são t=\pi,2\pi,3\pi,\dots.
  • Máximos e mínimos: derivando h(u)=e^{-u}\sin u (com u=t-\pi) obtemos h'(u)=e^{-u}(\cos u-\sin u). Zeros de h' satisfazem \tan u=1, logo as extremas ocorrem em u=\pi/4 + k\pi. O primeiro máximo (positivo) está em u=\pi/4, ou seja em t=\pi+\pi/4. Sua amplitude é
h\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=e^{-\pi/4}\sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\frac{e^{-\pi/4}}{\sqrt{2}}\approx 0{,}323.
  • Envoltórias: as cristas ficam entre \pm e^{-(t-\pi)}. Ou seja, as oscilações decaem exponencialmente com taxa 1.
  • Continuidade e inclinação no início: f(\pi^-)=0 e f(\pi^+)=0, então f é contínua em t=\pi. A derivada à direita em t=\pi é f'(\pi^+)=h'(0)=e^{0}(\cos0-\sin0)=1, então começa subindo com inclinação 1.
Como esboçar concretamente:
  1. Marque uma linha de tempo, destaque t=\pi.
  2. Para t<\pi, trace a linha no eixo 0.
  3. A partir de t=\pi, desenhe uma senoide iniciando em zero com inclinação positiva, com picos decrescentes encaixados entre as curvas y=\pm e^{-(t-\pi)}.
  4. Marque zeros em t=\pi,2\pi,3\pi,\dots e o primeiro pico em t=\pi+\pi/4 com altura aproximada 0{,}323.
    Isso já produz um esboço fiel: uma oscilação amortecida iniciada em t=\pi.

Resposta

f(t)=\begin{cases} 0, & t<\pi,\\[6pt] e^{-(t-\pi)}\sin(t-\pi), & t\ge \pi. \end{cases}]

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