Encontre e faça um esboço ou gráfico de
se
for igual a:
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Laplace
e pede para encontrar
e fazer um esboço/gráfico. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Aparece o fator exponencial
multiplicando uma função racional em . - O denominador é
. - A pergunta é única: encontrar
(a função no domínio do tempo) e esboçá-la.
Passo 2
Teorema do deslocamento no tempo (explicação didática): se temos uma função
com transformada
, então para qualquer constante
vale
onde
é a função degrau unitário deslocada (ou Heaviside):
para
e
para
. Isso significa, na prática, que multiplicar
por
corresponde a atrasar no tempo a função
: a forma no tempo passa a ser zero até
e depois segue igual a
deslocada, isto é
para
.
Observação intuitiva: o fator
não muda a “forma” temporal básica
, apenas a desloca para a direita em
unidades.
Passo 3
Aplicando a ideia do passo anterior: a parte sem o fator de atraso é
Vamos achar a transformada inversa de
. Primeiro completamos o quadrado no denominador:
Portanto
Conhecimento padrão (explicado): a transformada de Laplace da função
é
Aqui podemos identificar
e
. Como
, temos exatamente
Portanto a inversa é
Explicação do que cada símbolo significa: em
, o fator
é uma decaída exponencial com constante de tempo
(faz a amplitude diminuir conforme
cresce) e
é a oscilação (período
). O produto dá uma oscilaçao amortecida.
Passo 4
Agora voltamos ao fator de atraso
. Pelo teorema do passo 2, isso corresponde a deslocar
em
. Assim
Substituindo
,
Escrevendo de forma peça‑wise (útil na prova):
Passo 5
Vamos interpretar e dar dicas para o esboço (passo a passo para desenhar no papel sem calculadora):
- A função é zero até
. Em ela começa (valor inicial igual a zero porque ). - Para
é a função com . Então basta desenhar para e deslocar tudo para a direita em . - Zeros: ocorrem quando
, ou seja quando (com ). Assim os primeiros zeros são . - Máximos e mínimos: derivando
(com ) obtemos . Zeros de satisfazem , logo as extremas ocorrem em . O primeiro máximo (positivo) está em , ou seja em . Sua amplitude é
- Envoltórias: as cristas ficam entre
. Ou seja, as oscilações decaem exponencialmente com taxa . - Continuidade e inclinação no início:
e , então é contínua em . A derivada à direita em é , então começa subindo com inclinação .
Como esboçar concretamente:
- Marque uma linha de tempo, destaque
. - Para
, trace a linha no eixo . - A partir de
, desenhe uma senoide iniciando em zero com inclinação positiva, com picos decrescentes encaixados entre as curvas . - Marque zeros em
e o primeiro pico em com altura aproximada .
Isso já produz um esboço fiel: uma oscilação amortecida iniciada em.