Encontre a família de curvas ortogonais à família de círculos que contém os pontos (1,0) e (-1,0).

Passo 1

O enunciado pede as trajetórias ortogonais à família de círculos que passam por (1,0) e (-1,0). O conteúdo envolve:
– caracterizar a família de círculos por um parâmetro;
– obter a inclinação y' dessa família via diferenciação implícita;
– usar y'_{\perp}=-1/y' para as ortogonais;
– resolver a equação diferencial resultante (que será exata) para achar a família de ortogonais.

Passo 2

A equação geral de um círculo é x^2+y^2+Ax+By+C=0. Exigindo que ele passe por (1,0) e (-1,0) dá dois sistemas que forçam A=0 e C=-1. Logo a família é
x^2+y^2 + B\,y -1 = 0,
onde B é o parâmetro.

Passo 3

Diferenciando implicitamente em relação a x obtemos
2x + 2y\,y' + B\,y'=0 \quad\Longrightarrow\quad y' = -\frac{2x}{2y+B}.
Para eliminar B, isolamos da equação da família:
B = \frac{1 - x^2 - y^2}{y},
e assim
2y+B = \frac{y^2+1 - x^2}{y},
logo
y' = -\frac{2x}{\bigl(y^2+1 - x^2\bigr)/y} = -\frac{2x\,y}{\,y^2+1 - x^2\,}.

Passo 4

A inclinação das ortogonais satisfaz
y'_{\perp} \;=\; -\frac{1}{y'} \;=\; -\frac{\,y^2+1 - x^2\,}{2x\,y} \;=\;\frac{x^2 - y^2 -1}{2x\,y}.
Isto é uma equação diferencial
\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 - y^2 -1}{2x\,y},
que podemos reescrever em forma diferencial exata:
2x\,y\,dy - (x^2 - y^2 -1)\,dx = 0.

Passo 5

Chamando
M(x,y) = -(x^2 - y^2 -1),\quad N(x,y)=2x\,y,
vemos que \partial M/\partial y =2y = \partial N/\partial x, logo é exata. Procuramos \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M,\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y} = N.
Integramos em x:
\Phi(x,y) = \int\bigl(-x^2 + y^2 +1\bigr)\,dx = -\tfrac{x^3}{3} + x\,(y^2+1) + h(y).
Diferenciando em y e igualando a N leva a h'(y)=0. Assim a solução implícita é
-\frac{x^3}{3} + x\,(y^2+1) = C,
ou multiplicando tudo por 3,
3x\,(y^2+1) - x^3 = C.

Resposta

A família de curvas ortogonais é dada implicitamente por
3x\,(y^2 + 1) \;-\; x^3 \;=\; C,
onde C é constante.

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