Suponha que a taxa de desintegração de uma substância radioativa é proporcional à quantidade de substância existente em cada instante de tempo.
Numa amostra de uma certa substância quando decorridos 1200 anos há uma perda de
dessa substância.
(a) Escreva a equação diferencial que descreve o processo de desintegração.
(b) Determine a constante de desintegração dessa substância.
(c) Determine a quantidade da amostra que desaparece em 600 anos.
(d) Em quantos anos haverá apenas
da quantidade original da amostra?
(e) Lembre que a meia vida de uma substância radioativa é o tempo em que uma amostra da substância se desintegra à metade da quantidade original. Determine a meia vida dessa substância.
Numa amostra de uma certa substância quando decorridos 1200 anos há uma perda de
(a) Escreva a equação diferencial que descreve o processo de desintegração.
(b) Determine a constante de desintegração dessa substância.
(c) Determine a quantidade da amostra que desaparece em 600 anos.
(d) Em quantos anos haverá apenas
(e) Lembre que a meia vida de uma substância radioativa é o tempo em que uma amostra da substância se desintegra à metade da quantidade original. Determine a meia vida dessa substância.
Passo 1
O enunciado diz que a taxa de desintegração de uma substância é proporcional à quantidade existente em cada instante. O conteúdo é de equações diferenciais de decaimento exponencial. Para resolver vamos usar a equação
e a técnica de separação de variáveis, além da condição de que em 1200 anos perde-se 36 % da amostra (fica 64 %).
Passo 2
A equação diferencial que descreve o decaimento é
em que
é a quantidade no tempo
e
é a constante de desintegração. O sinal negativo indica que
diminui ao longo do tempo.
Passo 3
Para resolver separamos variáveis:
integrando ambos os lados, obtemos
e exponenciando:
onde
é a quantidade inicial.
Passo 4
Usamos a informação de que em
anos sobra
da amostra, ou seja,
Dividindo por
e aplicando logaritmo:
Passo 5
Em 600 anos a quantidade remanescente é
Como
, tem-se
Logo a quantidade que desaparece é
isto é, 20 % da amostra.
Passo 6
Para ter apenas
da quantidade inicial impomos
e assim
Passo 7
A meia-vida
é o tempo para
. Da mesma forma
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) Desaparece (20 % da amostra).
(d) .
(e) .
(b)
(c) Desaparece
(d)
(e)