Suponha que a taxa de desintegração de uma substância radioativa é proporcional à quantidade de substância existente em cada instante de tempo.
Numa amostra de uma certa substância quando decorridos 1200 anos há uma perda de 36 \% dessa substância.
(a) Escreva a equação diferencial que descreve o processo de desintegração.
(b) Determine a constante de desintegração dessa substância.
(c) Determine a quantidade da amostra que desaparece em 600 anos.
(d) Em quantos anos haverá apenas 1 / 50 da quantidade original da amostra?
(e) Lembre que a meia vida de uma substância radioativa é o tempo em que uma amostra da substância se desintegra à metade da quantidade original. Determine a meia vida dessa substância.

Passo 1

O enunciado diz que a taxa de desintegração de uma substância é proporcional à quantidade existente em cada instante. O conteúdo é de equações diferenciais de decaimento exponencial. Para resolver vamos usar a equação
\frac{dQ}{dt} = -\,k\,Q
e a técnica de separação de variáveis, além da condição de que em 1200 anos perde-se 36 % da amostra (fica 64 %).

Passo 2

A equação diferencial que descreve o decaimento é
\frac{dQ}{dt} = -\,k\,Q
em que Q(t) é a quantidade no tempo t e k>0 é a constante de desintegração. O sinal negativo indica que Q diminui ao longo do tempo.

Passo 3

Para resolver separamos variáveis:
\frac{dQ}{Q} = -\,k\,dt
integrando ambos os lados, obtemos
\ln Q = -\,k\,t + C
e exponenciando:
Q(t) = Q_{0}\,e^{-\,k\,t}
onde Q_{0}=Q(0) é a quantidade inicial.

Passo 4

Usamos a informação de que em t=1200 anos sobra 64\% da amostra, ou seja,
Q(1200)=0{,}64\,Q_{0} = Q_{0}\,e^{-\,k\cdot1200}
Dividindo por Q_{0} e aplicando logaritmo:
\ln(0{,}64) = -\,k\cdot1200 \quad\Longrightarrow\quad k = -\frac{1}{1200}\,\ln(0{,}64)\approx 3{,}719\times10^{-4}\,\text{ano}^{-1}.

Passo 5

Em 600 anos a quantidade remanescente é
Q(600)=Q_{0}\,e^{-\,k\cdot600}.
Como k\cdot600 = \tfrac{600}{1200}(-\ln0{,}64)= -\tfrac12\ln0{,}64, tem-se
Q(600)=Q_{0}\,e^{\frac12\ln(0{,}64)}=Q_{0}\,\sqrt{0{,}64}=0{,}8\,Q_{0}.
Logo a quantidade que desaparece é
Q_{0}-Q(600)=Q_{0}(1-0{,}8)=0{,}2\,Q_{0},
isto é, 20 % da amostra.

Passo 6

Para ter apenas 1/50 da quantidade inicial impomos
Q(t)=\frac{Q_{0}}{50} \quad\Longrightarrow\quad Q_{0}\,e^{-\,k\,t}=\frac{Q_{0}}{50} \quad\Longrightarrow\quad e^{-\,k\,t}=\frac{1}{50}
e assim
t = \frac{\ln(50)}{k}\approx \frac{3{,}912}{3{,}719\times10^{-4}}\approx1,05\times10^{4}\,\text{anos}.

Passo 7

A meia-vida t_{1/2} é o tempo para Q(t_{1/2})=Q_{0}/2. Da mesma forma
\frac{1}{2}=e^{-\,k\,t_{1/2}} \quad\Longrightarrow\quad t_{1/2}=\frac{\ln2}{k}\approx\frac{0{,}6931}{3{,}719\times10^{-4}}\approx1864\,\text{anos}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dQ}{dt}=-k\,Q.
(b) \displaystyle k=-\tfrac{1}{1200}\ln(0{,}64)\approx3{,}719\times10^{-4}\,\text{ano}^{-1}.
(c) Desaparece 0{,}2\,Q_{0} (20 % da amostra).
(d) \displaystyle t=\tfrac{\ln(50)}{k}\approx1{,}05\times10^{4}\,\text{anos}.
(e) \displaystyle t_{1/2}=\tfrac{\ln2}{k}\approx1864\,\text{anos}.

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