Encontre a família de curvas ortogonais à família de círculos que contém os pontos
e
.
Passo 1
O enunciado pede as trajetórias ortogonais à família de círculos que passam por
e
. O conteúdo envolve:
– caracterizar a família de círculos por um parâmetro;
– obter a inclinação dessa família via diferenciação implícita;
– usar para as ortogonais;
– resolver a equação diferencial resultante (que será exata) para achar a família de ortogonais.
– caracterizar a família de círculos por um parâmetro;
– obter a inclinação
– usar
– resolver a equação diferencial resultante (que será exata) para achar a família de ortogonais.
Passo 2
A equação geral de um círculo é
. Exigindo que ele passe por
e
dá dois sistemas que forçam
e
. Logo a família é
onde
é o parâmetro.
Passo 3
Diferenciando implicitamente em relação a
obtemos
Para eliminar
, isolamos da equação da família:
e assim
logo
Passo 4
A inclinação das ortogonais satisfaz
Isto é uma equação diferencial
que podemos reescrever em forma diferencial exata:
Passo 5
Chamando
vemos que
, logo é exata. Procuramos
tal que
Integramos em
:
Diferenciando em
e igualando a
leva a
. Assim a solução implícita é
ou multiplicando tudo por 3,
Resposta
A família de curvas ortogonais é dada implicitamente por
onde
é constante.