Encontre a família de soluções de cada equação diferencial,
\quad u^{(i v)}=t-2

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a família de soluções da equação diferencial
u^{(iv)}(t)=t-2.
Informações dadas:
  • A função incógnita é u(t).
  • A derivada de ordem quatro de u em relação a t é igual ao polinômio t-2.
    O que se pede é a solução geral (família de soluções), ou seja, todas as funções u(t) que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Estratégia para resolver (explicação didática):
  • Quando a derivada de ordem n de uma função é dada, uma maneira direta é integrar n vezes a equação, introduzindo uma constante de integração a cada integração.
  • Cada integração acrescenta uma constante arbitrária porque a primitiva de uma função não é única (difere por uma constante).
  • Aqui n=4, então vamos integrar quatro vezes o lado direito (t-2) e incluir quatro constantes de integração, obtendo a solução geral.
  • Lembrete de integração de potências: para \int t^k\,dt = \dfrac{t^{k+1}}{k+1} + C (para k\neq -1). E \int a\,dt = a t + C para constante a.

Passo 3

Primeira integração: obtemos u^{(iii)}(t).
u^{(iv)}(t)=t-2 \quad\Longrightarrow\quad u^{(iii)}(t)=\int (t-2)\,dt=\frac{t^2}{2}-2t+C_1,
onde C_1 é a primeira constante de integração.

Passo 4

Segunda integração: obtemos u''(t).
u''(t)=\int\!\left(\frac{t^2}{2}-2t+C_1\right)\,dt =\frac{t^3}{6}-t^2+C_1 t+C_2,
onde C_2 é a segunda constante de integração.
Explicação das parcelas:
  • \int \frac{t^2}{2}\,dt = \frac{1}{2}\cdot\frac{t^3}{3}=\frac{t^3}{6}.
  • \int (-2t)\,dt = -2\cdot\frac{t^2}{2}=-t^2.
  • \int C_1\,dt = C_1 t.

Passo 5

Terceira integração: obtemos u'(t).
u'(t)=\int\!\left(\frac{t^3}{6}-t^2+C_1 t+C_2\right)\,dt =\frac{t^4}{24}-\frac{t^3}{3}+\frac{C_1 t^2}{2}+C_2 t+C_3,
onde C_3 é a terceira constante de integração.
Verificação das integrais parciais:
  • \int \frac{t^3}{6}\,dt=\frac{t^4}{24}.
  • \int (-t^2)\,dt=-\frac{t^3}{3}.
  • \int C_1 t\,dt = C_1\cdot\frac{t^2}{2}.

Passo 6

Quarta integração: obtemos u(t) (a solução geral).
u(t)=\int\!\left(\frac{t^4}{24}-\frac{t^3}{3}+\frac{C_1 t^2}{2}+C_2 t+C_3\right)\,dt =\frac{t^5}{120}-\frac{t^4}{12}+\frac{C_1 t^3}{6}+\frac{C_2 t^2}{2}+C_3 t + C_4,
onde C_4 é a quarta constante de integração.

Passo 7

Comentário didático sobre os C_i:
  • Os C_1,C_2,C_3,C_4 são constantes arbitrárias reais. A presença de quatro constantes é esperada porque a equação é de ordem 4; a solução geral de uma EDO linear de ordem 4 tem quatro parâmetros livres.
  • Podemos também pensar em decompor a solução em uma solução particular e na solução geral da homogênea u^{(iv)}=0. A solução particular é
u_p(t)=\frac{t^5}{120}-\frac{t^4}{12},
e a solução geral da homogênea é um polinômio de grau \le 3
u_h(t)=\frac{C_1 t^3}{6}+\frac{C_2 t^2}{2}+C_3 t + C_4.
Somando u_p+u_h recupera-se a mesma expressão encontrada.

Passo 8

Verificação rápida (derivar quatro vezes):
  • Derivando u(t)=\dfrac{t^5}{120}-\dfrac{t^4}{12}+\cdots quatro vezes obtém-se t-2. Portanto a solução está correta.

Resposta

u(t)=\frac{t^5}{120}-\frac{t^4}{12}+\frac{C_1 t^3}{6}+\frac{C_2 t^2}{2}+C_3 t + C_4
onde C_1,C_2,C_3,C_4 são constantes reais arbitrárias.

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