Encontre a família de soluções de cada equação diferencial,
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a família de soluções da equação diferencial
Informações dadas:
- A função incógnita é
. - A derivada de ordem quatro de
em relação a é igual ao polinômio .
O que se pede é a solução geral (família de soluções), ou seja, todas as funçõesque satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Estratégia para resolver (explicação didática):
- Quando a derivada de ordem
de uma função é dada, uma maneira direta é integrar vezes a equação, introduzindo uma constante de integração a cada integração. - Cada integração acrescenta uma constante arbitrária porque a primitiva de uma função não é única (difere por uma constante).
- Aqui
, então vamos integrar quatro vezes o lado direito e incluir quatro constantes de integração, obtendo a solução geral. - Lembrete de integração de potências: para
(para ). E para constante .
Passo 3
Primeira integração: obtemos
.
onde
é a primeira constante de integração.
Passo 4
Segunda integração: obtemos
.
onde
é a segunda constante de integração.
Explicação das parcelas:
Explicação das parcelas:
-
. -
. -
.
Passo 5
Terceira integração: obtemos
.
onde
é a terceira constante de integração.
Verificação das integrais parciais:
Verificação das integrais parciais:
-
. -
. -
.
Passo 6
Quarta integração: obtemos
(a solução geral).
onde
é a quarta constante de integração.
Passo 7
Comentário didático sobre os
:
- Os
são constantes arbitrárias reais. A presença de quatro constantes é esperada porque a equação é de ordem 4; a solução geral de uma EDO linear de ordem tem quatro parâmetros livres. - Podemos também pensar em decompor a solução em uma solução particular e na solução geral da homogênea
. A solução particular é
e a solução geral da homogênea é um polinômio de grau
Somando
recupera-se a mesma expressão encontrada.
Passo 8
Verificação rápida (derivar quatro vezes):
- Derivando
quatro vezes obtém-se . Portanto a solução está correta.
Resposta
onde
são constantes reais arbitrárias.