Encontre a família de soluções de cada equação diferencial,
u^{\prime \prime \prime}=t^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
u^{\prime\prime\prime} = t^{2}
e pede a família de soluções (ou seja, a solução geral). As informações relevantes são:
  • A derivada de terceira ordem de u em relação a t é igual a t^{2}.
  • Não há condições iniciais fornecidas, então devemos encontrar a solução geral com constantes de integração.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): derivadas e integrais são operações inversas. Para recuperar u a partir de u^{\prime\prime\prime} vamos integrar a expressão t^{2} três vezes, adicionando uma constante de integração a cada integração. Antes de começar, lembrete do que vamos usar:
  • Regra do antiderivado (regra da potência): para n\neq -1,
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui C é uma constante arbitrária que aparece sempre que fazemos uma integral indefinida.

Passo 3

Primeira integração: integrar ambos os lados uma vez para obter u^{\prime\prime}.
u^{\prime\prime} = \int t^{2}\,dt = \frac{t^{3}}{3} + C_{1},
onde C_{1} é uma constante real de integração. Explicação: apliquei a regra da potência com n=2, então \dfrac{t^{2+1}}{2+1}=\dfrac{t^{3}}{3}.

Passo 4

Segunda integração: integrar para obter u^{\prime}.
u^{\prime} = \int \left(\frac{t^{3}}{3} + C_{1}\right)dt = \int \frac{t^{3}}{3}\,dt + \int C_{1}\,dt.
Calcule cada termo usando a regra da potência:
\int \frac{t^{3}}{3}\,dt = \frac{1}{3}\cdot\frac{t^{4}}{4} = \frac{t^{4}}{12}, \qquad \int C_{1}\,dt = C_{1}t.
Logo
u^{\prime} = \frac{t^{4}}{12} + C_{1}t + C_{2},
onde C_{2} é uma nova constante de integração.

Passo 5

Terceira integração: integrar novamente para obter u.
u = \int \left(\frac{t^{4}}{12} + C_{1}t + C_{2}\right)dt = \int \frac{t^{4}}{12}\,dt + \int C_{1}t\,dt + \int C_{2}\,dt.
Calcule cada termo:
\int \frac{t^{4}}{12}\,dt = \frac{1}{12}\cdot\frac{t^{5}}{5} = \frac{t^{5}}{60}, \qquad \int C_{1}t\,dt = C_{1}\cdot\frac{t^{2}}{2} = \frac{C_{1}t^{2}}{2}, \qquad \int C_{2}\,dt = C_{2}t.
Adiciona-se uma terceira constante de integração C_{3}. Assim
u(t) = \frac{t^{5}}{60} + \frac{C_{1}t^{2}}{2} + C_{2}t + C_{3},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias reais.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom na prova): derivar três vezes para checar se retorna t^{2}.
Primeira derivada:
u^{\prime}(t) = \frac{t^{4}}{12} + C_{1}t + C_{2}.
Segunda derivada:
u^{\prime\prime}(t) = \frac{t^{3}}{3} + C_{1}.
Terceira derivada:
u^{\prime\prime\prime}(t) = t^{2},
que é exatamente a equação dada. Está correto.

Passo 7

Interpretação das constantes: C_{1},C_{2},C_{3} são constantes que aparecem porque integramos indefinidamente; se o problema desse valores iniciais (por exemplo u(0),u'(0),u''(0)), poderíamos determinar C_{1},C_{2},C_{3} resolvendo um sistema linear simples substituindo t apropriado nas expressões de u, u' e u''. Exemplo rápido: se u(0)=a, u'(0)=b, u''(0)=c, então usando as fórmulas acima obteríamos
u''(0)=c = C_{1},\quad u'(0)=b = C_{2},\quad u(0)=a = C_{3},
pois os termos com potências de t desaparecem em t=0.

Resposta

u(t)=\frac{t^{5}}{60}+\frac{C_{1}t^{2}}{2}+C_{2}t+C_{3}

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