Encontre a família de soluções de cada equação diferencial,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a família de soluções (ou seja, a solução geral). As informações relevantes são:
- A derivada de terceira ordem de
em relação a é igual a . - Não há condições iniciais fornecidas, então devemos encontrar a solução geral com constantes de integração.
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): derivadas e integrais são operações inversas. Para recuperar
a partir de
vamos integrar a expressão
três vezes, adicionando uma constante de integração a cada integração. Antes de começar, lembrete do que vamos usar:
- Regra do antiderivado (regra da potência): para
,
Aqui
é uma constante arbitrária que aparece sempre que fazemos uma integral indefinida.
Passo 3
Primeira integração: integrar ambos os lados uma vez para obter
.
onde
é uma constante real de integração. Explicação: apliquei a regra da potência com
, então
.
Passo 4
Segunda integração: integrar para obter
.
Calcule cada termo usando a regra da potência:
Logo
onde
é uma nova constante de integração.
Passo 5
Terceira integração: integrar novamente para obter
.
Calcule cada termo:
Adiciona-se uma terceira constante de integração
. Assim
onde
são constantes arbitrárias reais.
Passo 6
Verificação rápida (sempre bom na prova): derivar três vezes para checar se retorna
.
Primeira derivada:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
que é exatamente a equação dada. Está correto.
Passo 7
Interpretação das constantes:
são constantes que aparecem porque integramos indefinidamente; se o problema desse valores iniciais (por exemplo
), poderíamos determinar
resolvendo um sistema linear simples substituindo
apropriado nas expressões de
,
e
. Exemplo rápido: se
,
,
, então usando as fórmulas acima obteríamos
pois os termos com potências de
desaparecem em
.