Encontre a família de soluções de cada equação diferencial,
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre a família de soluções de cada equação diferencial,
.”
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função incógnita é
, dependente da variável . - Está dada a segunda derivada de
em função de : . - Queremos a família geral de soluções (isto é, todas as funções
que satisfazem a equação), que deve conter duas constantes arbitrárias porque a equação é de segunda ordem.
Passo 2
Entendimento do que significa integrar para resolver: quando se conhece a derivada (ou derivadas) de uma função e se quer recuperar a função, usa-se antiderivação (integração indefinida). Relembrando a regra básica de potências para integração: para
,
onde
é uma constante arbitrária. Aqui aplicaremos essa regra duas vezes porque conhecemos a segunda derivada
.
Passo 3
Integração da segunda derivada para obter a primeira derivada. Começamos com
Integramos ambos os lados em relação a
para obter
:
Aplicando a regra da potência com
e lembrando que a constante de integração aparece:
onde
é uma constante arbitrária (representa qualquer constante que apareça ao integrar).
Passo 4
Integração da primeira derivada para obter
. Agora integramos
:
Integro termo a termo: para
uso a regra da potência com
; para
a antiderivada é
. Assim
onde
é uma segunda constante arbitrária resultante da segunda integração.
Passo 5
Verificação rápida por diferenciação (para ganhar confiança): derivando
duas vezes deve retornar
.
Primeira derivada:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
A verificação confirma que a família encontrada satisfaz a equação original para quaisquer constantes
.
Passo 6
Interpretação final e exemplos rápidos: a solução geral tem duas constantes arbitrárias
e
como esperado para uma EDO de segunda ordem. Exemplos particulares:
- Se
então . - Se quiser uma solução com
e , ajuste e resolvendo as condições iniciais: e , logo .