Encontre a família de soluções de cada equação diferencial,
u^{\prime \prime}=2 t

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre a família de soluções de cada equação diferencial, u''=2t.”
Informações dadas:
  • A função incógnita é u, dependente da variável t.
  • Está dada a segunda derivada de u em função de t: \,u''(t)=2t.
  • Queremos a família geral de soluções (isto é, todas as funções u(t) que satisfazem a equação), que deve conter duas constantes arbitrárias porque a equação é de segunda ordem.

Passo 2

Entendimento do que significa integrar para resolver: quando se conhece a derivada (ou derivadas) de uma função e se quer recuperar a função, usa-se antiderivação (integração indefinida). Relembrando a regra básica de potências para integração: para n\neq-1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é uma constante arbitrária. Aqui aplicaremos essa regra duas vezes porque conhecemos a segunda derivada u''.

Passo 3

Integração da segunda derivada para obter a primeira derivada. Começamos com
u''(t)=2t.
Integramos ambos os lados em relação a t para obter u'(t):
u'(t)=\int 2t\,dt.
Aplicando a regra da potência com n=1 e lembrando que a constante de integração aparece:
u'(t)=2\cdot\frac{t^{2}}{2}+C_{1}=t^{2}+C_{1},
onde C_{1} é uma constante arbitrária (representa qualquer constante que apareça ao integrar).

Passo 4

Integração da primeira derivada para obter u(t). Agora integramos u'(t)=t^{2}+C_{1}:
u(t)=\int (t^{2}+C_{1})\,dt.
Integro termo a termo: para t^{2} uso a regra da potência com n=2; para C_{1} a antiderivada é C_{1}t. Assim
u(t)=\frac{t^{3}}{3}+C_{1}t+C_{2},
onde C_{2} é uma segunda constante arbitrária resultante da segunda integração.

Passo 5

Verificação rápida por diferenciação (para ganhar confiança): derivando u(t) duas vezes deve retornar 2t.
Primeira derivada:
u'(t)=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{t^{3}}{3}+C_{1}t+C_{2}\right)=t^{2}+C_{1}.
Segunda derivada:
u''(t)=\frac{d}{dt}(t^{2}+C_{1})=2t.
A verificação confirma que a família encontrada satisfaz a equação original para quaisquer constantes C_{1},C_{2}.

Passo 6

Interpretação final e exemplos rápidos: a solução geral tem duas constantes arbitrárias C_{1} e C_{2} como esperado para uma EDO de segunda ordem. Exemplos particulares:
  • Se C_{1}=C_{2}=0 então u(t)=\dfrac{t^{3}}{3}.
  • Se quiser uma solução com u(0)=0 e u'(0)=1, ajuste C_{1} e C_{2} resolvendo as condições iniciais: u'(0)=C_{1}=1 e u(0)=C_{2}=0, logo u(t)=\dfrac{t^{3}}{3}+t.

Resposta

u(t)=\frac{t^{3}}{3}+C_{1}t+C_{2}

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