Encontre a família de soluções de cada equação diferencial,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
Vou deixar claro o que isso significa e o que se pede:
- A incógnita é a função
, que depende da variável independente . Ou seja, procuramos . - O símbolo
significa a derivada de em relação a , isto é, . - O termo
é uma função conhecida de , a função cosseno.
O que o exercício pede é encontrar a família de soluções (todas as funçõesque satisfazem essa igualdade para todo num domínio apropriado).
Passo 2
Interpretação do problema e estratégia simples:
- A equação nos dá a derivada de
diretamente: a derivada é igual a uma função conhecida de . - Quando a derivada de uma função é conhecida, a maneira direta de obter a função é integrar essa derivada em relação a
. Ou seja, procuramos uma antiderivada (primitiva) de .
Explicando o conceito: uma antiderivada de uma funçãoé uma função tal que . Integrar é justamente o processo de encontrar essa antiderivada.
Passo 3
Aplicando integração:
- Partimos de
. - Integramos ambos os lados em relação a
. Escrevendo isso:
- Observação didática: a integral do lado esquerdo recupera
(mais uma constante), porque . Isso é a ideia de que derivada e integral são operações inversas, até uma constante.
Passo 4
Calcular a integral de
:
- Uma primitiva conhecida de
é , porque . - Logo
onde
é uma constante arbitrária real que aparece porque integrais indefinidas determinam famílias de funções que diferem por uma constante. Aqui
.
Passo 5
Escrever a solução geral e explicar por que é uma família:
- A partir dos passos anteriores, obtemos
com
.
- Essa é uma família de soluções porque cada valor de
dá uma função diferente; todas satisfazem a equação diferencial.
Passo 6
Verificação rápida (confirmação de que está correto):
- Diferenciando
obtemos
portanto a função encontrada realmente satisfaz
.
- Observação sobre domínio: a solução é válida para todo
, já que e são definidas para todos os reais.