Encontre a família de soluções de cada equação diferencial,
u^{\prime}=\cos (t)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
u'=\cos(t).
Vou deixar claro o que isso significa e o que se pede:
  • A incógnita é a função u, que depende da variável independente t. Ou seja, procuramos u(t).
  • O símbolo u' significa a derivada de u em relação a t, isto é, \dfrac{du}{dt}.
  • O termo \cos(t) é uma função conhecida de t, a função cosseno.
    O que o exercício pede é encontrar a família de soluções (todas as funções u(t) que satisfazem essa igualdade para todo t num domínio apropriado).

Passo 2

Interpretação do problema e estratégia simples:
  • A equação nos dá a derivada de u diretamente: a derivada \dfrac{du}{dt} é igual a uma função conhecida de t.
  • Quando a derivada de uma função é conhecida, a maneira direta de obter a função é integrar essa derivada em relação a t. Ou seja, procuramos uma antiderivada (primitiva) de \cos(t).
    Explicando o conceito: uma antiderivada de uma função f(t) é uma função F(t) tal que F'(t)=f(t). Integrar é justamente o processo de encontrar essa antiderivada.

Passo 3

Aplicando integração:
  • Partimos de \dfrac{du}{dt}=\cos(t).
  • Integramos ambos os lados em relação a t. Escrevendo isso:
\int \dfrac{du}{dt}\,dt = \int \cos(t)\,dt.
  • Observação didática: a integral do lado esquerdo recupera u(t) (mais uma constante), porque \int \dfrac{du}{dt}\,dt = u(t)+\text{constante}. Isso é a ideia de que derivada e integral são operações inversas, até uma constante.

Passo 4

Calcular a integral de \cos(t):
  • Uma primitiva conhecida de \cos(t) é \sin(t), porque \dfrac{d}{dt}\sin(t)=\cos(t).
  • Logo
\int \cos(t)\,dt = \sin(t) + C,
onde C é uma constante arbitrária real que aparece porque integrais indefinidas determinam famílias de funções que diferem por uma constante. Aqui C\in\mathbb{R}.

Passo 5

Escrever a solução geral e explicar por que é uma família:
  • A partir dos passos anteriores, obtemos
u(t)=\sin(t)+C,
com C\in\mathbb{R}.
  • Essa é uma família de soluções porque cada valor de C dá uma função diferente; todas satisfazem a equação diferencial.

Passo 6

Verificação rápida (confirmação de que está correto):
  • Diferenciando \sin(t)+C obtemos
\frac{d}{dt}\bigl(\sin(t)+C\bigr)=\cos(t)+0=\cos(t),
portanto a função encontrada realmente satisfaz \dfrac{du}{dt}=\cos(t).
  • Observação sobre domínio: a solução é válida para todo t\in\mathbb{R}, já que \sin(t) e \cos(t) são definidas para todos os reais.

Resposta

u(t)=\sin(t)+C, com C\in\mathbb{R}.

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