Encontre a família de soluções de cada equação diferencial,
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a família de soluções da equação diferencial dada. A informação fornecida é:
Ou seja, a derivada de
em relação a
é igual à soma de
com
. A tarefa é obter
(a família de primitivas) contendo a constante de integração.
Passo 2
Ideia geral (conceito importante): se uma função
satisfaz
, então
é uma primitiva de
, isto é,
onde
é a constante de integração. Aqui podemos aplicar isso com
. Vou explicar cada passo da integração com calma.
Passo 3
Usamos a linearidade da integral para separar a integral em duas partes:
Primeira integral: aplicar a regra da potência para integrais. A regra diz que
para
. Aqui
, então
Passo 4
Segunda integral:
. É útil usar a identidade do ângulo duplo para reduzir o quadrado do cosseno:
Substituindo,
Calcule cada termo:
Para
, usar a regra da primitiva de
:
. Aqui
, então
Portanto
Juntando:
Passo 5
Agora juntamos as duas primitivas encontradas:
Simplificando a soma:
onde
é a constante arbitrária de integração. Observação prática:
pode também ser escrita como
usando
; ambas as formas estão corretas.
Passo 6
Interpretação final e dica para a prova: a família de soluções é o conjunto de todas as primitivas acima, parameterizadas por
. Na prova, sempre que receber uma equação do tipo
função de
apenas, lembre-se: integrar diretamente (procurar identidade trigonométrica se necessário) e colocar a constante
.