Encontre a família de soluções de cada equação diferencial,
u^{\prime}=t+\cos ^{2}(t)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a família de soluções da equação diferencial dada. A informação fornecida é:
u'(t)=t+\cos^{2}t.
Ou seja, a derivada de u em relação a t é igual à soma de t com \cos^{2}t. A tarefa é obter u(t) (a família de primitivas) contendo a constante de integração.

Passo 2

Ideia geral (conceito importante): se uma função u satisfaz \,u'(t)=f(t)\,, então u(t) é uma primitiva de f, isto é,
u(t)=\int f(t)\,dt + C,
onde C é a constante de integração. Aqui podemos aplicar isso com f(t)=t+\cos^{2}t. Vou explicar cada passo da integração com calma.

Passo 3

Usamos a linearidade da integral para separar a integral em duas partes:
\int\bigl(t+\cos^{2}t\bigr)\,dt=\int t\,dt+\int \cos^{2}t\,dt.
Primeira integral: aplicar a regra da potência para integrais. A regra diz que \int t^{n}\,dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1} para n\neq-1. Aqui n=1, então
\int t\,dt=\frac{t^{2}}{2}.

Passo 4

Segunda integral: \int \cos^{2}t\,dt. É útil usar a identidade do ângulo duplo para reduzir o quadrado do cosseno:
\cos 2t = 2\cos^{2}t - 1 \quad\Rightarrow\quad \cos^{2}t=\frac{1+\cos 2t}{2}.
Substituindo,
\int \cos^{2}t\,dt = \int \frac{1+\cos 2t}{2}\,dt = \frac{1}{2}\int 1\,dt + \frac{1}{2}\int \cos 2t\,dt.
Calcule cada termo:
\frac{1}{2}\int 1\,dt = \frac{t}{2}.
Para \int \cos 2t\,dt, usar a regra da primitiva de \cos(k t): \int \cos(k t)\,dt=\dfrac{1}{k}\sin(k t). Aqui k=2, então
\int \cos 2t\,dt=\frac{1}{2}\sin 2t.
Portanto
\frac{1}{2}\int \cos 2t\,dt = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin 2t = \frac{1}{4}\sin 2t.
Juntando:
\int \cos^{2}t\,dt = \frac{t}{2} + \frac{1}{4}\sin 2t.

Passo 5

Agora juntamos as duas primitivas encontradas:
\int\bigl(t+\cos^{2}t\bigr)\,dt = \frac{t^{2}}{2} + \left(\frac{t}{2} + \frac{1}{4}\sin 2t\right) + C.
Simplificando a soma:
u(t)=\frac{t^{2}}{2}+\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\sin 2t + C,
onde C é a constante arbitrária de integração. Observação prática: \dfrac{1}{4}\sin 2t pode também ser escrita como \dfrac{1}{2}\sin t\cos t usando \sin 2t = 2\sin t\cos t; ambas as formas estão corretas.

Passo 6

Interpretação final e dica para a prova: a família de soluções é o conjunto de todas as primitivas acima, parameterizadas por C. Na prova, sempre que receber uma equação do tipo u'(t)= função de t apenas, lembre-se: integrar diretamente (procurar identidade trigonométrica se necessário) e colocar a constante C.

Resposta

u(t)=\frac{t^{2}}{2}+\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\sin 2t + C

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