Encontre a família de soluções de cada equação diferencial,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
e pede: encontrar a família de soluções (a solução geral). As informações relevantes são:
- A variável independente é
. - A função incógnita é
. - A derivada de
em relação a é dada explicitamente por . - Não foi dado nenhuma condição inicial, então devemos apresentar a solução geral com a constante de integração.
Passo 2
Entendendo o que significa a equação. Escrever
. Assim a equação é
Isto diz que a taxa de variação de
em função de
é uma função conhecida de
. Para encontrar
basta “desfazer” a derivada, ou seja, integrar em relação a
. Isso é direto: integrar ambos os lados da igualdade em
.
Passo 3
Passo formal de integração. Separe diferencialmente e integre:
Agora integramos ambos os lados. Do lado esquerdo a integral de
é
(mais uma constante); do lado direito integramos
em
. Escrevendo:
Passo 4
Calcular a integral do lado direito. Lembrança rápida: a derivada de
é
. Logo um antiderivado de
é
. Portanto
onde
é a constante de integração (um número real arbitrário). No lado esquerdo temos
(ou
, mas já estamos incluindo a constante no lado direito), então obtemos a expressão da solução.
Passo 5
Escrever a solução geral explicitamente. Reunindo o resultado da integração:
onde
é a constante de integração que caracteriza cada solução da família.
Passo 6
Verificar que a solução encontrada realmente satisfaz a equação original (checar é sempre bom na prova). Diferenciando
em relação a
:
que é exatamente a equação dada. Portanto a solução está correta.
Passo 7
Comentário prático sobre condição inicial (dica de prova/exame). Se for dada uma condição do tipo
, determina-se
por
Exemplo rápido: se
, então
e a solução particular é
.
Passo 8
Resumo didático e dicas de memorização:
- Sempre que tiveres
(derivada igual a função só de ), a solução geral é . - Memoriza que
, por isso . - Em prova, mostre o passo da integração e faça a verificação por diferenciação; se houver condição inicial, use-a para achar
.