Encontre a família de soluções de cada equação diferencial,
x^{\prime}=-\operatorname{sen}(t)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
x' = -\operatorname{sen}(t)
e pede: encontrar a família de soluções (a solução geral). As informações relevantes são:
  • A variável independente é t.
  • A função incógnita é x(t).
  • A derivada de x em relação a t é dada explicitamente por -\operatorname{sen}(t).
  • Não foi dado nenhuma condição inicial, então devemos apresentar a solução geral com a constante de integração.

Passo 2

Entendendo o que significa a equação. Escrever x'=\dfrac{dx}{dt}. Assim a equação é
\frac{dx}{dt} = -\operatorname{sen}(t).
Isto diz que a taxa de variação de x em função de t é uma função conhecida de t. Para encontrar x(t) basta “desfazer” a derivada, ou seja, integrar em relação a t. Isso é direto: integrar ambos os lados da igualdade em t.

Passo 3

Passo formal de integração. Separe diferencialmente e integre:
dx = -\operatorname{sen}(t)\,dt.
Agora integramos ambos os lados. Do lado esquerdo a integral de dx é x(t) (mais uma constante); do lado direito integramos -\operatorname{sen}(t) em t. Escrevendo:
\int dx = \int -\operatorname{sen}(t)\,dt.

Passo 4

Calcular a integral do lado direito. Lembrança rápida: a derivada de \cos(t) é -\operatorname{sen}(t). Logo um antiderivado de -\operatorname{sen}(t) é \cos(t). Portanto
\int -\operatorname{sen}(t)\,dt = \cos(t) + C,
onde C é a constante de integração (um número real arbitrário). No lado esquerdo temos \int dx = x(t) (ou x(t)+C, mas já estamos incluindo a constante no lado direito), então obtemos a expressão da solução.

Passo 5

Escrever a solução geral explicitamente. Reunindo o resultado da integração:
x(t) = \cos(t) + C,
onde C\in\mathbb{R} é a constante de integração que caracteriza cada solução da família.

Passo 6

Verificar que a solução encontrada realmente satisfaz a equação original (checar é sempre bom na prova). Diferenciando x(t)=\cos(t)+C em relação a t:
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(\cos(t)+C\bigr) = -\operatorname{sen}(t)+0 = -\operatorname{sen}(t),
que é exatamente a equação dada. Portanto a solução está correta.

Passo 7

Comentário prático sobre condição inicial (dica de prova/exame). Se for dada uma condição do tipo x(t_0)=x_0, determina-se C por
x_0 = \cos(t_0) + C \quad\Rightarrow\quad C = x_0 - \cos(t_0).
Exemplo rápido: se x(0)=2, então C = 2-\cos(0)=2-1=1 e a solução particular é x(t)=\cos(t)+1.

Passo 8

Resumo didático e dicas de memorização:
  • Sempre que tiveres x' = f(t) (derivada igual a função só de t), a solução geral é x(t)=\int f(t)\,dt + C.
  • Memoriza que \dfrac{d}{dt}\cos(t) = -\operatorname{sen}(t), por isso \int -\operatorname{sen}(t)\,dt = \cos(t).
  • Em prova, mostre o passo da integração e faça a verificação por diferenciação; se houver condição inicial, use-a para achar C.

Resposta

x(t)=\cos(t)+C,\qquad C\in\mathbb{R}

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