[9.] A equação diferencial linear de segunda ordem,
u^{\prime \prime}+4 u^{\prime}+4 u=0, \quad \text { tem uma família de soluções, } \quad \varphi(t)=C_{1} e^{-2 t}+C_{2} t e^{-2 t}íçõ
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias. Calcular a solução particular que atenda as condições iniciais,
u(0)=0 \quad \text { e } \quad u^{\prime}(0)=-1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial e a família geral de soluções, e pede a solução que satisfaz condições iniciais. Informações fornecidas:
  • Equação diferencial: u^{\prime\prime}+4u^{\prime}+4u=0.
  • Família geral de soluções (já fornecida): \varphi(t)=C_{1}e^{-2t}+C_{2}t e^{-2t}, onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias.
  • Condições iniciais a satisfazer: u(0)=0 \quad\text{e}\quad u^{\prime}(0)=-1.
O que é pedido: encontrar os valores de C_{1} e C_{2} que tornam \varphi(t) a solução particular u(t) que satisfaz as condições iniciais, e escrever explicitamente essa u(t).

Passo 2

Breve explicação didática sobre a forma da solução (importante para entender por que usamos C_{1}e^{-2t}+C_{2}t e^{-2t}):
  • Para uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma e^{rt}. Substituindo na equação obtém-se a equação característica.
  • Aqui a equação característica é r^{2}+4r+4=0.
  • Essa equação pode ser fatorada como (r+2)^{2}=0, logo temos uma raiz real dupla r=-2 de multiplicidade 2.
  • Quando há raiz dupla r, as duas soluções independentes são e^{rt} e t e^{rt}. Assim a solução geral é C_{1}e^{-2t}+C_{2}t e^{-2t}, que é exatamente a família dada. As constantes C_{1},C_{2} são ajustadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Vamos calcular a derivada primeira de \varphi(t) para poder aplicar a condição u^{\prime}(0)=-1.
Começamos derivando termo a termo.
  • Derivada de C_{1}e^{-2t}: a derivada de e^{-2t} é -2e^{-2t}, logo
\frac{d}{dt}\big(C_{1}e^{-2t}\big)=-2C_{1}e^{-2t}.
  • Derivada de C_{2}t e^{-2t}: aqui usamos a regra do produto. Se v(t)=t e w(t)=e^{-2t}, então (vw)'=v'w+vw'. Assim,
\frac{d}{dt}\big(C_{2}t e^{-2t}\big)=C_{2}\big(1\cdot e^{-2t}+t\cdot(-2e^{-2t})\big)=C_{2}e^{-2t}-2C_{2}t e^{-2t}.
Somando as derivadas dos dois termos obtemos
u'(t)=\varphi'(t)=-2C_{1}e^{-2t}+C_{2}e^{-2t}-2C_{2}t e^{-2t}.
Podemos fatorar e^{-2t}:
u'(t)=e^{-2t}\big(-2C_{1}+C_{2}-2C_{2}t\big).

Passo 4

Aplicar a condição u(0)=0.
  • Avaliando \varphi(t) em t=0:
u(0)=\varphi(0)=C_{1}e^{0}+C_{2}\cdot 0\cdot e^{0}=C_{1}.
  • A condição pede u(0)=0, portanto
C_{1}=0.

Passo 5

Aplicar a condição u^{\prime}(0)=-1.
  • Avaliando u'(t) em t=0 usando a expressão fatorada:
u'(0)=e^{0}\big(-2C_{1}+C_{2}-2C_{2}\cdot 0\big)=-2C_{1}+C_{2}.
  • Substituindo C_{1}=0 (obtido no passo anterior), isso simplifica para
u'(0)=C_{2}.
  • A condição inicial exige u'(0)=-1, daí
C_{2}=-1.

Passo 6

Escrever a solução particular com os constantes encontrados e verificar rapidamente.
  • Substituindo C_{1}=0 e C_{2}=-1 em \varphi(t):
u(t)=0\cdot e^{-2t}+(-1)\,t e^{-2t}=-t e^{-2t}.
  • Verificação rápida (opcional, mas útil): calcular u(0) e u'(0) para conferir.
    • u(0)=-0\cdot e^{0}=0 — ok.
    • Derivando u(t)=-t e^{-2t}: por produto,
    u'(t)=-\big(e^{-2t}+t(-2e^{-2t})\big)=-e^{-2t}+2t e^{-2t}=e^{-2t}(-1+2t),então u'(0)=e^{0}(-1+0)=-1 — ok.

Resposta

-t e^{-2t}

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