[9.] A equação diferencial linear de segunda ordem,
onde
e
são constantes reais arbitrárias. Calcular a solução particular que atenda as condições iniciais,
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial e a família geral de soluções, e pede a solução que satisfaz condições iniciais. Informações fornecidas:
- Equação diferencial:
- Família geral de soluções (já fornecida):
onde e são constantes reais arbitrárias. - Condições iniciais a satisfazer:
O que é pedido: encontrar os valores de
e
que tornam
a solução particular
que satisfaz as condições iniciais, e escrever explicitamente essa
.
Passo 2
Breve explicação didática sobre a forma da solução (importante para entender por que usamos
):
- Para uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma
. Substituindo na equação obtém-se a equação característica. - Aqui a equação característica é
- Essa equação pode ser fatorada como
, logo temos uma raiz real dupla de multiplicidade 2. - Quando há raiz dupla
, as duas soluções independentes são e . Assim a solução geral é que é exatamente a família dada. As constantes são ajustadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Vamos calcular a derivada primeira de
para poder aplicar a condição
.
Começamos derivando termo a termo.
Começamos derivando termo a termo.
- Derivada de
: a derivada de é , logo
- Derivada de
: aqui usamos a regra do produto. Se e , então . Assim,
Somando as derivadas dos dois termos obtemos
Podemos fatorar
:
Passo 4
Aplicar a condição
.
- Avaliando
em :
- A condição pede
, portanto
Passo 5
Aplicar a condição
.
- Avaliando
em usando a expressão fatorada:
- Substituindo
(obtido no passo anterior), isso simplifica para
- A condição inicial exige
, daí
Passo 6
Escrever a solução particular com os constantes encontrados e verificar rapidamente.
- Substituindo
e em :
- Verificação rápida (opcional, mas útil): calcular
e para conferir. -
— ok. - Derivando
: por produto,
então — ok. -