Mude a variável dependente de maneira que cada equação seja um PVI com sua condição inicial dada no ponto zero.
t u^{\prime}+u=t \operatorname{sen}(t), u(1)=2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial e a condição inicial:
t\,u'(t)+u(t)=t\sin(t),\qquad u(1)=2.
O que pede: trocar a variável (fazer uma mudança de variável) de modo que a equação fique escrita como um problema de valor inicial (PVI) cuja condição inicial esteja no ponto zero (isto é, com condição em 0). Lista de dados relevantes:
  • Equação dada: \,t\,u'(t)+u(t)=t\sin(t)\,.
  • Condição inicial dada em t=1: \,u(1)=2\,.
  • Objetivo: obter um PVI equivalente com a condição inicial em 0.

Passo 2

Ideia clara e simples (motivo): para deslocar a condição inicial de t=1 para 0 podemos introduzir uma nova variável independente que zere exatamente quando t=1. Uma escolha natural é definir uma variável de deslocamento
s = t-1.
Com isso, quando t=1 temos s=0. Para transformar a equação vamos definir uma nova função desconhecida v que represente u escrita em função de s. Defina
v(s)=u(s+1).
Assim a nova incógnita v é a mesma solução vista no eixo deslocado, e a condição inicial transforma-se diretamente em v(0)=u(1)=2.

Passo 3

Transformação das derivadas (regra do encadeamento / chain rule) — explicação didática:
  • Por definição v(s)=u(s+1).
  • Para derivar v em relação a s, aplicar a regra da cadeia: a derivada de u avaliada em s+1 multiplicada por derivada de s+1 em relação a s (que é 1). Logo
v'(s)=\frac{d}{ds}u(s+1)=u'(s+1)\cdot 1=u'(s+1).
  • Em particular, escrevendo em termos de t (onde t=s+1) obtemos a relação inversa útil:
u'(t)=v'(t-1).
Essas fórmulas permitem substituir u e u' na equação original.

Passo 4

Substituição na equação original (passo a passo, sem pular etapas):
  • Trocar t por s+1 porque t=s+1.
  • Trocar u(t) por v(s) porque v(s)=u(s+1).
  • Trocar u'(t) por v'(s) porque u'(s+1)=v'(s).
Fazendo as substituições na equação \,t\,u'(t)+u(t)=t\sin(t)\, obtemos, em função de s:
(s+1)\,v'(s)+v(s)=(s+1)\sin(s+1).

Passo 5

Escrever o PVI final e verificar a condição inicial:
  • A condição inicial transformou-se em v(0)=u(1)=2 (pois s=0 corresponde a t=1).
  • Portanto o problema de valor inicial equivalente, com condição em 0, é
(s+1)\,v'(s)+v(s)=(s+1)\sin(s+1),\qquad v(0)=2.
Observação prática para a prova: muitas vezes prefere-se renomear a variável s de volta para t (apenas por conveniência de notação). Isso é só uma renomeação; então uma forma alternativa de escrever o mesmo PVI é
(t+1)\,v'(t)+v(t)=(t+1)\sin(t+1),\qquad v(0)=2.

Resposta

(s+1)\,v'(s)+v(s)=(s+1)\sin(s+1),\; v(0)=2

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