Mude a variável dependente de maneira que cada equação seja um PVI com sua condição inicial dada no ponto zero.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial e a condição inicial:
O que pede: trocar a variável (fazer uma mudança de variável) de modo que a equação fique escrita como um problema de valor inicial (PVI) cuja condição inicial esteja no ponto zero (isto é, com condição em
). Lista de dados relevantes:
- Equação dada:
. - Condição inicial dada em
: . - Objetivo: obter um PVI equivalente com a condição inicial em
.
Passo 2
Ideia clara e simples (motivo): para deslocar a condição inicial de
para
podemos introduzir uma nova variável independente que zere exatamente quando
. Uma escolha natural é definir uma variável de deslocamento
Com isso, quando
temos
. Para transformar a equação vamos definir uma nova função desconhecida
que represente
escrita em função de
. Defina
Assim a nova incógnita
é a mesma solução vista no eixo deslocado, e a condição inicial transforma-se diretamente em
.
Passo 3
Transformação das derivadas (regra do encadeamento / chain rule) — explicação didática:
- Por definição
. - Para derivar
em relação a , aplicar a regra da cadeia: a derivada de avaliada em multiplicada por derivada de em relação a (que é ). Logo
- Em particular, escrevendo em termos de
(onde ) obtemos a relação inversa útil:
Essas fórmulas permitem substituir
e
na equação original.
Passo 4
Substituição na equação original (passo a passo, sem pular etapas):
- Trocar
por porque . - Trocar
por porque . - Trocar
por porque .
Fazendo as substituições na equação
obtemos, em função de
:
Passo 5
Escrever o PVI final e verificar a condição inicial:
- A condição inicial transformou-se em
(pois corresponde a ). - Portanto o problema de valor inicial equivalente, com condição em
, é
Observação prática para a prova: muitas vezes prefere-se renomear a variável
de volta para
(apenas por conveniência de notação). Isso é só uma renomeação; então uma forma alternativa de escrever o mesmo PVI é