Utilizando o método de variação de parâmetros, encontre uma solução particular da equação:
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+3 \frac{d y}{d x}+2 y=\operatorname{sen}\left(e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede encontrar, por variação de parâmetros, uma solução particular da equação
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 3\frac{dy}{dx} + 2y = \sin\bigl(e^{x}\bigr).
Para isso precisamos ( 1) achar a solução geral da homogênea associada e ( 2) aplicar a fórmula de variação de parâmetros.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' + 3y' + 2y = 0.
A equação característica é
r^2 + 3r + 2 = 0,
cuja solução dá r=-1 e r=-2. Logo tomamos
y_{1}(x) = e^{-x}, \quad y_{2}(x) = e^{-2x}
como base de soluções da homogênea.

Passo 3

Procuramos uma particular da forma
y_{p}(x) = u_{1}(x)\,y_{1}(x) + u_{2}(x)\,y_{2}(x).
As fórmulas de variação de parâmetros dizem que
u_{1}' = -\frac{f(x)\,y_{2}}{W}, \quad u_{2}' = \frac{f(x)\,y_{1}}{W},
once f(x)=\sin(e^x) e o Wronskiano
W = \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ [6pt] y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = e^{-x}(-2e^{-2x}) \;- e^{-2x}(-e^{-x}) = -e^{-3x}.

Passo 4

Calculando u_{1}' e u_{2}':
u_{1}' = -\frac{\sin(e^x)\,e^{-2x}}{-e^{-3x}} = \sin(e^x)\,e^{x},
u_{2}' = \frac{\sin(e^x)\,e^{-x}}{-e^{-3x}} = -\,\sin(e^x)\,e^{2x}.
Integramos cada um:
Para u_{1}: faça t=e^x, dt=e^x dx, então
u_{1} = \int \sin(e^x)\,e^x dx = \int \sin(t)\,dt = -\cos(t) = -\cos\bigl(e^x\bigr).
Para u_{2}: com t=e^x temos e^{2x}dx = t\,dt, então
u_{2} = \int -\sin(e^x)\,e^{2x}dx = -\int t\sin(t)\,dt.
Por integração por partes,
\int t\sin(t)\,dt = -\,t\cos(t) + \sin(t),
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u_{2} = t\cos(t) - \sin(t) = e^x\cos\bigl(e^x\bigr) - \sin\bigl(e^x\bigr).

Passo 5

Agora
y_{p} = u_{1}y_{1} + u_{2}y_{2} = \bigl(-\cos(e^x)\bigr)\,e^{-x} + \bigl(e^x\cos(e^x)-\sin(e^x)\bigr)\,e^{-2x}.
Agrupando termos notamos que os e^{-x}\cos(e^x) se cancelam, restando
y_{p}(x) = -\,e^{-2x}\,\sin\bigl(e^x\bigr).

Resposta

Uma solução particular é
y_{p}(x) = -\,e^{-2x}\,\sin\bigl(e^{x}\bigr).

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