Encontre uma família de soluções (implícitas) a um parâmetro para cada EDO abaixo.
(x^2 y^3-11+9 x^2)+x^3 y^2 d yd x=0

Passo 1

A equação dada é uma EDO da forma exata M(x,y) + N(x,y),y'=0, com M(x,y)=x^2y^3-11+9x^2 e N(x,y)=x^3y^2. Vamos usar o teste de exatidão e depois encontrar a função potencial cujo nível dá a solução implícita.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para verificar exatidão:
partial Mpartial y=3x^2y^2
e
partial Npartial x=3x^2y^2.
Como as duas coincidem, a equação é exata.

Passo 3

Para achar a função potencial psi(x,y) tal que psix=M e psiy=N, integramos M em relação a x:
psi(x,y)=integrall(x^2y^3-11+9x^2r)dx = y^3x^33-13arctan(3x)+H(y)

Passo 4

Para determinar H(y), derivamos psi em relação a y e igualamos a N:
psiy = x^3y^2 + H'(y) = x^3y^2 implica H'(y)=0. Logo, H(y) é constante.

Passo 5

A solução geral implícita vem de psi(x,y)=C. Multiplicando tudo por 3 para simplificar, obtemos
x^3y^3 - arctan(3x)=C'

Resposta

x^3y^3 - arctan(3x) = C

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