Encontre uma família de soluções (implícitas) a um parâmetro para cada EDO abaixo.
(y+cot (y / x))-x d yd x=0

Passo 1

A gente tem a EDO (y + cot(y/x)) - x dydx = 0. Percebi que a expressão cot(y/x) sugere usar a substituição homogênea v = yx.

Passo 2

Fazendo v = yx, a gente escreve y = vx e, derivando em relação a x, obtém dydx = v + xdvdx.

Passo 3

Substituindo na EDO original, a gente chega a:
v + xdvdx = y + cot(y/x)x = v + cot(v)x

Passo 4

Cancelando o v de ambos os lados, sobra xdvdx = cot(v)x.

Passo 5

Para separar variáveis, reescrevo dvcot(v) = dxx^2, ou seja tan(v),dv = x^-2,dx.

Passo 6

Integramos ambos os lados:
integral tan(v),dv = integral x^-2,dx
que resulta em -ln|cos(v)| = -tfrac1x + C.

Passo 7

Voltando em v = y/x, temos ln|cos(y/x)| = tfrac1x + C1. Exponenciando, a solução implícita fica:
cosl(tfracyxr),e^-1/x = C

Resposta

cosl(tfracyxr)e^-1/x = C

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