Encontre uma família de soluções (implícitas) a um parâmetro para cada EDO abaixo.
(1-3x+y)+(1-3y+x) d yd x=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a família de soluções implícitas, com um parâmetro, da equação diferencial (1-3x+y)+(1-3y+x)dydx=0. Este é um problema de equação diferencial exata, pois podemos escrever na forma M(x,y),dx+N(x,y),dy=0.

Passo 2

Vamos verificar se a equação é exata, calculando as derivadas parciais:
Para M(x,y)=1-tfrac3x+y temos
partial Mpartial y=1
Para N(x,y)=1-tfrac3y+x temos
partial Npartial x=1
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para encontrar a função potencial F(x,y) tal que Fx=M, integramos M em relação a x:
F(x,y)=integrall(1-3x+yr)dx = x -3ln|x| + xy + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora usamos Fy=N. Calculamos
Fy = x + h'(y)
e igualamos a N(x,y)=1-tfrac3y+x. Assim
x + h'(y) = x +1 -3y implies h'(y)=1-3y
Integrando em relação a y:
h(y)=integrall(1-3yr)dy = y -3ln|y| + C1

Passo 5

Substituindo h(y) em F(x,y), obtemos a solução implícita geral:
F(x,y)=x -3ln|x| + xy + y -3ln|y| = C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

xy + x + y -3ln|x| -3ln|y| = C

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