Encontre uma família de soluções (implícitas) a um parâmetro para cada EDO abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a família de soluções implícitas, com um parâmetro, da equação diferencial
. Este é um problema de equação diferencial exata, pois podemos escrever na forma
.
Passo 2
Vamos verificar se a equação é exata, calculando as derivadas parciais:
Para temos
Para
Para
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Para encontrar a função potencial
tal que
, integramos
em relação a
:
onde
Passo 4
Agora usamos
. Calculamos
e igualamos a
Integrando em relação a
:
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos a solução implícita geral:
onde