Encontre uma família de soluções (implícitas) a um parâmetro para cada EDO abaixo.
d yd x=y-xy+x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial dydx=y-xy+x. Esse tipo de equação é homogênea, pois o lado direito depende apenas de y/x. Para resolver, vamos usar a substituição y=u x e separar variáveis.

Passo 2

Com a troca y=u x, temos
dydx=u + xdudx
Substituindo na EDO original:
u + xdudx=u x - xu x + x=u-1u+1

Passo 3

Isolando xdudx, obtemos
xdudx=u-1u+1-u
Fazendo a conta no numerador:
u-1 - u(u+1)u+1=-u^2-1u+1=-u^2+1u+1

Passo 4

Logo
dudx=-u^2+1(u+1)x
Agora separamos variáveis:
u+1u^2+1,du = -dxx

Passo 5

Integrando ambos os lados:
integral uu^2+1,du + integral 1u^2+1,du = -integral dxx
Isso dá
12 ln(u^2+1) + arctan(u) = -ln|x| + C

Passo 6

Voltando a u=y/x e reorganizando: multiplicando tudo por 2 e recolocando ln|x| dentro de um log:
lnl((y/x)^2+1r) + 2arctanl(tfracyxr) + 2ln|x| = C'
Observando que
lnl((y/x)^2+1r) + 2ln|x| = lnl(x^2l((y/x)^2+1r)r)=ln(x^2+y^2),
chegamos à forma final.

Passo 7

A família de curvas solução (implícita) fica portanto

Resposta

ln(x^2+y^2)+2arctanl(tfracyxr)=C

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