Encontre uma família de soluções (implícitas) a um parâmetro para cada EDO abaixo.
x+(y-2 x) d yd x=0

Passo 1

Temos a equação diferencial de primeira ordem
x + (y - 2x)dydx = 0
que reescreve em forma padrão
dydx = -xy - 2x
O membro direito depende só de y/x, então é uma EDO homogênea. Vamos achar sua solução implícita com constante livre.

Passo 2

Para equações homogêneas, fazemos a troca de variáveis
y = v x,
onde v é função de x. Logo
dydx = v + xdvdx

Passo 3

Substituindo na equação em forma padrão:
v + xdvdx = -xy - 2x = -xv x - 2x = -1v - 2
Isolando o termo x,dv/dx obtemos
xdvdx = -1v - 2 - v = -(v-1)^2v-2

Passo 4

Agora separam-se as variáveis v e x:
v-2(v-1)^2,dv = -dxx
Integramos cada lado:

Passo 5

À esquerda, decompondo
v-2(v-1)^2 = (v-1)-1(v-1)^2 = 1v-1 - 1(v-1)^2,
e integrando:
integrall(1v-1 - 1(v-1)^2r)dv = ln|v-1| + 1v-1
À direita:
integral -dxx = -ln|x| + C
Logo
ln|v-1| + 1v-1 = -ln|x| + C

Passo 6

Retornando à variável original y = vx, temos v = y/x e v-1 = (y-x)/x. Substituindo e simplificando os logaritmos, chega-se à forma implícita final:
ln|y - x| + xy - x = C

Resposta

ln|y - x| + tfracxy - x = C

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