Encontre uma família de soluções (implícitas) a um parâmetro para cada EDO abaixo.
(y^2+y x)-x^2 d yd x=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a família de soluções implícitas da EDO
(y^2+yx)-x^2dydx=0
Esse tipo de EDO é homogênea de 1ª ordem, e vamos precisar usar a substituição y=vx para transformá-la em variáveis separáveis.

Passo 2

Primeiro isolamos dydx. A EDO fica:
dydx=y^2+yxx^2=y^2x^2+yx

Passo 3

Aplicamos a substituição y=vx. Então dydx=v+xdvdx e y/x=v. Substituindo na equação:
v+xdvdx=v^2+v
Isso simplifica para
xdvdx=v^2

Passo 4

Agora separamos variáveis:
dvv^2=dxx
Integramos ambos os lados:
integral v^-2dv=integral x^-1dx
resultando em
-1v=ln|x|+C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original usando v=y/x:
-xy=ln|x|+C
Reorganizando, obtemos a forma implícita da família de soluções:
xy+ln|x|=C'

Resposta

x/y+ln|x|=C

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