Encontre uma família de soluções (implícitas) a um parâmetro para cada EDO abaixo.
(x-y)+x d yd x=0

Passo 1

O enunciado pede para achar uma família de soluções implícitas (com parâmetro C) da EDO de primeira ordem
(x - y) + xdydx = 0
Isso é uma equação diferencial linear em y(x).

Passo 2

Reescrevemos a EDO em forma padrão
xdydx = y - x
Dividindo por x (supondo xneq0):
dydx - 1x,y = -1

Passo 3

Identificamos o fator integrante mu(x). Como a equação é
dydx + P(x)y = Q(x)
aqui P(x) = -1/x. Então
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral -1x,dx = e^-ln|x| = 1x.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=1/x:
1xdydx - 1x^2y = -1x
O lado esquerdo é a derivada de y/x. Logo:
ddxl(yxr) = -1x.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(yxr)dx = integral -1xdx
Isso dá
yx = -ln|x| + C, onde C é a constante de integração.

Resposta

yx + ln|x| = C

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