Um tanque tem formato cônico com raio igual a 8 metros, altura de 20 metros e com o vértice para baixo. Inicialmente o tanque está cheio de um líquido, mas o mesmo passa a vazar por um orifício localizado no vértice do tanque. A área do orifício é de 1 / 4 m^2 e c=0,1. Usando g=9,8 m / s^2, estime em quanto tempo o tanque estará vazio.

Passo 1

Temos um tanque cônico com vértice para baixo, raio da boca R=8 m e altura total H=20 m, inicialmente cheio. Ele vaza por um orifício de área a=1/4 m², com coeficiente de descarga c=0,1, sob gravidade g=9,8 m/s². O conteúdo é escoamento de fluido por orifício (Teorema de Torricelli) e equação diferencial.

Passo 2

Para relacionar o volume V do líquido à altura y do fio, usamos semelhança de triângulos: o raio do nível do líquido é r=(R/H)·y=(8/20)y=(2/5)y. Então o volume é
V(y)=13pi r^2y=13pil(25yr)^2y=4pi75y^3

Passo 3

A vazão de saída Q é dada por Torricelli: v=√(2gy) e Q=ca√(2gy). Como dV/dt=Q₍entra₎−Q₍sai₎=−ca√(2gy), mas dV/dt=(dV/dy)(dy/dt) e dV/dy=(4π/25)y². Assim obtemos a EDO
4pi25y^2dydt=-c,araiz2g,y

Passo 4

Separamos variáveis e integramos de y=20 m até y=0:
integral20^0y^3/2dy=-25,c,araiz2g4piintegral0^Tdt

Passo 5

Calculamos a integral de y^{3/2}:
integral0^20y^3/2dy=25y^5/2|0^20=25,20^5/2

Passo 6

Logo o tempo de esvaziamento é
T=4pi25,c,araiz2gcdot25,20^5/2=8pi125,c,araiz2g;20^5/2

Passo 7

Substituindo c=0{,}1, a=1/4 m², g=9{,}8 m/s² e calculando numericamente 20{5/2}≈1{,}7889×103 e √(2g)=√19{,}6≈4{,}427, obtemos T≈3{,}25×10^3 s (≈54,2 min).

Resposta

O tanque esvazia em cerca de 3,25×10^3 s, isto é aproximadamente 54,2 minutos.

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