a) Encontre um fator de integração para a equação
de forma a transformá-la numa equação exata.
c) Verifique que a função encontrada é realmente um fator integrante.
c) Verifique que a função encontrada é realmente um fator integrante.
Passo 1
O problema nos dá a equação diferencial
nos pedindo para encontrar um fator integrante que torne essa equação exata (conteúdo: equações diferenciais exatas e fator integrante). Vamos precisar usar as definições de equação exata e os critérios para fator integrante de função só de
ou só de
.
Passo 2
Primeiro reescrevemos em forma diferencial exata: trocando
por
e agrupando em
. Assim temos
Passo 3
Verificamos se já é exata calculando
Como
, não é exata.
Passo 4
Testamos primeiro se existe fator integrante
. O critério é
que depende também de
, logo não serve.
Passo 5
Agora testamos fator integrante
. O critério é
que é função só de
. Portanto existe
.
Passo 6
Integramos para encontrar
:
podendo tomar para simplicidade
(considerando
ou absorvendo o sinal).
Passo 7
Multiplicamos toda a equação original por
e confirmamos a exatidão:
Calculando
vemos que são iguais, logo a equação é exata com esse fator.
Passo 8
Assim encontramos e validamos o fator integrante que depende só de
.