a) Encontre um fator de integração para a equação x y+(2 x^2+3 y^2-20) y^prime=0 de forma a transformá-la numa equação exata.
c) Verifique que a função encontrada é realmente um fator integrante.

Passo 1

O problema nos dá a equação diferencial
x,y + l(2x^2+3y^2-20r),y'=0
nos pedindo para encontrar um fator integrante que torne essa equação exata (conteúdo: equações diferenciais exatas e fator integrante). Vamos precisar usar as definições de equação exata e os critérios para fator integrante de função só de x ou só de y.

Passo 2

Primeiro reescrevemos em forma diferencial exata: trocando y' por tfracdydx e agrupando em M(x,y),dx + N(x,y),dy=0. Assim temos
M(x,y)=x,y,
N(x,y)=2x^2+3y^2-20

Passo 3

Verificamos se já é exata calculando
partial Mpartial y=x,
partial Npartial x=4x
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, não é exata.

Passo 4

Testamos primeiro se existe fator integrante mu(x). O critério é
1Nl(partial M/partial y-partial N/partial xr) =x-4x2x^2+3y^2-20 =-3x2x^2+3y^2-20,
que depende também de y, logo não serve.

Passo 5

Agora testamos fator integrante mu(y). O critério é
1Ml(partial N/partial x-partial M/partial yr) =4x-xx,y =3xx,y =3y,
que é função só de y. Portanto existe mu(y).

Passo 6

Integramos para encontrar mu(y):
mu(y)=expl(integral3y,dyr) =expl(3ln|y|r) =|y|^3,
podendo tomar para simplicidade mu(y)=y^3 (considerando y>0 ou absorvendo o sinal).

Passo 7

Multiplicamos toda a equação original por y^3 e confirmamos a exatidão:
tilde M(x,y)=y^3,x,y=x,y^4,
tilde N(x,y)=y^3l(2x^2+3y^2-20r)=2x^2y^3+3y^5-20y^3
Calculando
partialtilde Mpartial y=4x,y^3,
partialtilde Npartial x=4x,y^3,
vemos que são iguais, logo a equação é exata com esse fator.

Passo 8

Assim encontramos e validamos o fator integrante que depende só de y.

Resposta

mu(y)=y^3

Exercícios relacionados