Determine os valores de c1 e c2 de modo que a função dada satisfaça as condições iniciais dadas:
y(x)=c1 e^x+c2 e^2 x+3 e^3 x, y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O exercício pede para encontrar os constantes c1 e c2 na solução geral
y(x)=c1e^x+c2e^2x+3e^3x
de uma EDO de ordem 2 (já resolvida) de modo que as condições iniciais
y(0)=0 e y'(0)=0 sejam satisfeitas.

Passo 2

Para usar y(0)=0, substituímos x=0 em y(x):
y(0)=c1+c2+3=0
Isso gera a equação
c1+c2=-3 .

Passo 3

Calculamos agora a derivada. Como ddxe^ax=ae^ax, temos
y'(x)=c1e^x+2c2e^2x+9e^3x

Passo 4

Aplicando y'(0)=0, substituindo x=0 em y'(x):
y'(0)=c1+2c2+9=0
que dá
c1+2c2=-9 .

Passo 5

Resolvemos o sistema linear
c1+c2=-3, c1+2c2=-9
Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos c2=-6. Então, c1=-3-(-6)=3.

Resposta

c1=3 e c2=-6

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