integral tg theta cdot sec ^5 theta=

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente resolver a integral . Aqui, estamos lidando com integração de funções trigonométricas, e vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e a técnica de substituição para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar que sec^2 theta = 1 + tan^2 theta e integral tan theta cdot sec^5 theta , dtheta . Mas para simplificar, vamos usar uma identidade trigonométrica importante:
du = sec theta tan theta , dtheta
Isso vai nos ajudar a transformar a integral de maneira mais fácil. Agora, vamos reescrever a integral:
integral tan theta cdot sec^5 theta , dtheta = integral sec^4 theta cdot (sec theta tan theta) , dtheta = integral sec^4 theta cdot du
Podemos pensar em uma substituição aqui. Vamos deixar integral u^4 , du . Assim, precisamos encontrar :
Observe que na nossa integral temos , que pode ser reescrito como . Isso facilita a substituição:
Agora, nossa integral ficou em termos de :

Passo 3

Agora, vamos integrar integral u^4 , du = u^55 + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Lembre-se que fizemos a substituição u^55 + C = sec^5 theta5 + C . Então, vamos voltar para a variável original substituindo de volta:

Resposta

Portanto, a integral de integral tan theta cdot sec^5 theta , dtheta = sec^5 theta5 + C é:

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