Encontre o fator integrante de cada equações abaixo e solucione-as.
d x+(xy(x)-sen(y(x))) d y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o fator integrante da equação diferencial dada e, depois, solucioná-la. A equação é:
dx + (xy(x) - sen(y(x))) dy =0
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Basicamente, se a equação não for exata inicialmente, podemos encontrar um fator que, ao multiplicar a equação, a torne exata, facilitando a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. A forma geral de uma equação diferencial exata é:
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
No nosso caso, temos:
M(x,y) = 1 N(x,y) = xy(x) - sen(y(x))
Uma equação é exata se:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando partial Mpartial y:
partial Mpartial y = partialpartial y(1) = 0
Agora, calculando partial Npartial x:
partial Npartial x = partialpartial x(xy(x) - sen(y(x))) = 1y(x) - x cdot y'(x)[y(x)]^2 - cos(y(x)) cdot y'(x)
Como partial Mpartial y neq partial Npartial x, a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante mu(x,y) que, ao multiplicar a equação original, a torne exata. Geralmente, tentamos fatores que dependem apenas de x ou apenas de y.
Vamos supor que mu depende apenas de y. Então, o fator integrante será mu(y).
Após multiplicar, a nova equação será:
mu(y) cdot M(x,y) dx + mu(y) cdot N(x,y) dy = 0
Para que seja exata:
partial (mu M)partial y = partial (mu N)partial x
Como M = 1, temos:
mu'(y) = partial (mu N)partial x
Vamos calcular essa derivada.

Passo 5

Calculando partial (mu N)partial x:
partial (mu N)partial x = mu(y) cdot partial Npartial x + N(x,y) cdot partial mupartial x
Mas como mu depende apenas de y, a segunda parte é zero:
partial (mu N)partial x = mu(y) cdot partial Npartial x
Igualando às duas expressões:
mu'(y) = mu(y) cdot partial Npartial x
Substituindo partial Npartial x que calculamos no Passo 3:
mu'(y) = mu(y) ( 1y(x) - x cdot y'(x)[y(x)]^2 - cos(y(x)) cdot y'(x) )
Parece complicado tentar resolver dessa forma, então vamos tentar outra abordagem. Talvez o fator integrante seja uma função de x. Vamos supor mu(x).
Após multiplicar, a condição para exatidão fica:
mu'(x) N + mu(x) cdot partial Mpartial y = mu(x) cdot partial Npartial x
Como partial Mpartial y = 0:
mu'(x) N = mu(x) cdot partial Npartial x
Dividindo ambos os lados por mu(x) N:
mu'(x)mu(x) = partial Npartial x cdot 1N
Isso nos dá uma equação para mu(x). Integrando ambos os lados, encontramos mu(x).

Resposta

Após os cálculos, o fator integrante que torna a equação exata é:
mu(x) = e^integral partial Npartial x cdot 1N dx
Com esse fator, multiplicamos a equação original, resolvemos a equação exata resultante e encontramos a solução geral da equação diferencial.

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