Encontre o fator integrante de cada equações abaixo e solucione-as.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o fator integrante da equação diferencial dada e, depois, solucioná-la. A equação é:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Basicamente, se a equação não for exata inicialmente, podemos encontrar um fator que, ao multiplicar a equação, a torne exata, facilitando a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. A forma geral de uma equação diferencial exata é:
No nosso caso, temos:
Uma equação é exata se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando
:
Agora, calculando
:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante
que, ao multiplicar a equação original, a torne exata. Geralmente, tentamos fatores que dependem apenas de
ou apenas de
.
Vamos supor que
depende apenas de
. Então, o fator integrante será
.
Após multiplicar, a nova equação será:
Para que seja exata:
Como
, temos:
Vamos calcular essa derivada.
Passo 5
Calculando
:
Mas como
depende apenas de
, a segunda parte é zero:
Igualando às duas expressões:
Substituindo
que calculamos no Passo 3:
Parece complicado tentar resolver dessa forma, então vamos tentar outra abordagem. Talvez o fator integrante seja uma função de
. Vamos supor
.
Após multiplicar, a condição para exatidão fica:
Como
:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso nos dá uma equação para
. Integrando ambos os lados, encontramos
.
Resposta
Após os cálculos, o fator integrante que torna a equação exata é:
Com esse fator, multiplicamos a equação original, resolvemos a equação exata resultante e encontramos a solução geral da equação diferencial.