Verifique quais das EDOs de primeira ordem abaixo são exatas e, nos casos de respostas positivas, determine suas respectivas soluções.
(cos (x)+ln (y(x))) d x+(xy(x)+e^y(x)) d y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem dada é exata. Se for, precisamos encontrar a solução dela. Para isso, vamos usar o conceito de EDOs exatas e a condição que elas precisam satisfazer para serem consideradas exatas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções $ M(x, y) $ e $ N(x, y) $ na EDO dada:
M(x, y)
N(x, y)

Passo 3

Uma EDO da forma $ M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 $ é exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Vamos calcular essas derivadas:
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
M

Passo 4

Agora, comparamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 1y = partial Npartial x
Como as derivadas são iguais, a EDO é exata!

Passo 5

Como a EDO é exata, sabemos que existe uma função $ \Psi(x, y) $ tal que:
Psi(x, y)
Vamos integrar $ M $ em relação a $ x $ para encontrar $ \Psi(x, y) $:
partial Psipartial x = M(x, y) = cos(x) + ln(y)
Aqui, $ h(y) $ é uma função de $ y $ que surge pela integração.

Passo 6

Agora, vamos encontrar $ h(y) $ diferenciando $ \Psi(x, y) $ em relação a $ y $ e igualando a $ N(x, y) $:
h(y)
Sabemos que:
Psi(x, y)
Igualando as duas expressões:
y
Isso implica que:
N(x, y)

Passo 7

Integrando $ h’(y) $ em relação a $ y $:
h'(y)
Onde $ C $ é uma constante de integração.

Passo 8

Agora, substituímos $ h(y) $ na expressão de $ \Psi(x, y) $:
h(y)
A solução geral da EDO é dada por $ \Psi(x, y) = constante $. Podemos reescrever isso como:
Psi(x, y)

Resposta

A solução geral da EDO exata dada é:
sin(x) + x ln(y) + e^y = C

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