Verifique quais das EDOs de primeira ordem abaixo são exatas e, nos casos de respostas positivas, determine suas respectivas soluções.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem dada é exata. Se for, precisamos encontrar a solução dela. Para isso, vamos usar o conceito de EDOs exatas e a condição que elas precisam satisfazer para serem consideradas exatas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções $ M(x, y) $ e $ N(x, y) $ na EDO dada:
Passo 3
Uma EDO da forma $ M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 $ é exata se a derivada parcial de $ M $ em relação a $ y $ for igual à derivada parcial de $ N $ em relação a $ x $. Vamos calcular essas derivadas:
Passo 4
Agora, comparamos as derivadas parciais:
Como as derivadas são iguais, a EDO é exata!
Passo 5
Como a EDO é exata, sabemos que existe uma função $ \Psi(x, y) $ tal que:
Vamos integrar $ M $ em relação a $ x $ para encontrar $ \Psi(x, y) $:
Aqui, $ h(y) $ é uma função de $ y $ que surge pela integração.
Passo 6
Agora, vamos encontrar $ h(y) $ diferenciando $ \Psi(x, y) $ em relação a $ y $ e igualando a $ N(x, y) $:
Sabemos que:
Igualando as duas expressões:
Isso implica que:
Passo 7
Integrando $ h’(y) $ em relação a $ y $:
Onde $ C $ é uma constante de integração.
Passo 8
Agora, substituímos $ h(y) $ na expressão de $ \Psi(x, y) $:
A solução geral da EDO é dada por $ \Psi(x, y) = constante $. Podemos reescrever isso como:
Resposta
A solução geral da EDO exata dada é: