Mostre que toda equação de variável separável da forma
é exata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que toda equação de variável separável da forma
é uma equação exata.
Matéria envolvida: Nós estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem e conceitos de equações exatas e variáveis separáveis.
O que precisamos: Entender o que é uma equação exata e uma equação de variável separável, além de saber como verificar a exatidão de uma equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma equação exata.
Uma equação diferencial na forma
é dita exata se existe uma função $ \Phi(x, y) $ tal que
Isso implica que as derivadas parciais de $ M $ em relação a $ y $ e de $ N $ em relação a $ x $ devem ser iguais:
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação dada no exercício:
Primeiro, vamos reescrever essa equação de uma forma que se assemelhe à forma padrão de uma equação exata. Para isso, podemos expressar a equação como:
Aqui, interpretamos $ y^{\prime}(x) = \frac{dy}{dx} $, então multiplicamos ambos os lados por $ dx $.
Passo 4
Agora que temos a equação na forma
Vamos verificar a condição de exatidão, ou seja, se:
Dado que $ M $ é uma função apenas de $ y $ e $ N $ é uma função apenas de $ x $, temos:
Para a equação ser exata, precisamos que:
Passo 5
Observando a igualdade $ M’(y) = N’(x) $, percebemos que o lado esquerdo depende apenas de $ y $ e o lado direito apenas de $ x $.
A única maneira dessa igualdade ser verdadeira para todos os $ x $ e $ y $ é se ambas as derivadas forem constantes iguais a uma mesma constante $ C $:
Passo 6
Integrando ambas as equações, encontramos:
onde $ K_1 $ e $ K_2 $ são constantes de integração.
Isso mostra que $ M(y) $ e $ N(x) $ devem ser funções lineares para que a equação seja exata.
Passo 7
Como toda equação de variável separável dada por $ M(y(x)) + N(x) , y^{\prime}(x) = 0 $ pode ser transformada em uma equação exata sob a condição de que $ M(y) $ e $ N(x) $ sejam lineares, concluímos que:
Toda equação de variável separável da forma $ M(y(x)) + N(x) , y^{\prime}(x) = 0 $ é uma equação exata.
Resposta
Assim, mostramos que toda equação de variável separável da forma $ M(y(x)) + N(x) , y^{\prime}(x) = 0 $ é exata, desde que as funções $ M(y) $ e $ N(x) $ sejam lineares.