Encontre o fator integrante de cada equações abaixo e solucione-as.
\left(y(x)-x y(x)^{2}\right) d x+x d y=0$.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(y - x,y^2r),dx + x,dy = 0
e pede para encontrar um fator integrante e resolver a equação. Trata–se de tornar a forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0 exata por meio de um fator integrante adequado.

Passo 2

Escrevemos
M(x,y) = y - x,y^2, N(x,y) = x
Procuramos um fator integrante do tipo mu(x,y)=x^ay^b. Depois de multiplicar, o novo M e N serão
widetilde M = x^ay^b(y - x,y^2), widetilde N = x^ay^b,x = x^a+1y^b

Passo 3

Para exatidão é preciso partialwidetilde M/partial y = partialwidetilde N/partial x. Calculamos
partialwidetilde Mpartial y = (b+1)x^ay^b - (b+2)x^a+1y^b+1, partialwidetilde Npartial x = (a+1)x^ay^b
Igualando e dividindo por x^ay^b
(b+1) - (b+2),x,y = a+1
Isso só vale para todo x,y se
b+2 = 0, b+1 = a+1
Logo b=-2 e a=-2. Assim
mu(x,y)=x^-2y^-2=1x^2y^2

Passo 4

Multiplicando a equação original por mu obtemos a forma exata
widetilde M,dx+widetilde N,dy=0,
com
widetilde M = 1x^2y-1x, widetilde N = 1x,y^2
Buscamos uma função potencial phi(x,y) tal que
partialphipartial x = widetilde M, partialphipartial y = widetilde N

Passo 5

Integramos widetilde M em x:
phi(x,y) = integral!l(1x^2y-1xr),dx = -1x,y - lnlvert xrvert + g(y),
onde g(y) é função a determinar.

Passo 6

Derivando em relação a y:
partialphipartial y = 1x,y^2 + g'(y) = widetilde N = 1x,y^2
Logo g'(y)=0 e podemos tomar g(y)=C.

Passo 7

A condição phi(x,y)=constante fornece a solução implícita:
-1x,y - lnlvert xrvert = C Long<=ftrightarrow 1x,y + lnlvert xrvert = K,
onde K=-C.
Podemos isolar y:
y(x) = 1,xl(K - lnlvert xrvertr)

Resposta

O fator integrante é
mu(x,y)=1x^2y^2,
e a solução geral é dada implicitamente por
1x,y + lnlvert xrvert = constant,
ou explicitamente
y(x)=1,xl(K - lnlvert xrvertr)

Exercícios relacionados