Encontre o fator integrante de cada equações abaixo e solucione-as.
\left(y(x)-x y(x)^{2}\right) d x+x d y=0$.
\left(y(x)-x y(x)^{2}\right) d x+x d y=0$.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para encontrar um fator integrante e resolver a equação. Trata–se de tornar a forma
exata por meio de um fator integrante adequado.
Passo 2
Escrevemos
Procuramos um fator integrante do tipo
. Depois de multiplicar, o novo
e
serão
Passo 3
Para exatidão é preciso
. Calculamos
Igualando e dividindo por
dá
Isso só vale para todo
se
Logo
e
. Assim
Passo 4
Multiplicando a equação original por
obtemos a forma exata
com
Buscamos uma função potencial
tal que
Passo 5
Integramos
em
:
onde
é função a determinar.
Passo 6
Derivando em relação a
:
Logo
e podemos tomar
.
Passo 7
A condição
fornece a solução implícita:
onde
.
Podemos isolar :
Podemos isolar
Resposta
O fator integrante é
e a solução geral é dada implicitamente por
ou explicitamente