Encontre o fator integrante de cada equações abaixo e solucione-as.
y(x) d x+\left(2 x y(x)-e^{-2 y(x)}\right) d y=0$.
y(x) d x+\left(2 x y(x)-e^{-2 y(x)}\right) d y=0$.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para encontrar um fator integrante e, em seguida, resolver a equação. Aqui vamos usar o teste de exatidão e procurar um fator integrante que dependa só de
.
Passo 2
Escrevemos
Para ver se é exata, comparamos
Como
, não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
. A condição para
é que
seja função só de
. De fato,
que depende apenas de
. Logo
Passo 4
Multiplicando a equação original por
, obtemos
Agora
são tais que
portanto a equação é exata.
Passo 5
Buscamos uma função potencial
com
logo
Depois exigimos
o que dá
e, integrando,
. Assim
A solução geral é
ou seja