Encontre o fator integrante de cada equações abaixo e solucione-as.
y(x) d x+\left(2 x y(x)-e^{-2 y(x)}\right) d y=0$.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y,dx + l(2xy - e^-2yr),dy = 0
e pede para encontrar um fator integrante e, em seguida, resolver a equação. Aqui vamos usar o teste de exatidão e procurar um fator integrante que dependa só de y.

Passo 2

Escrevemos
M(x,y) = y, N(x,y) = 2xy - e^-2y
Para ver se é exata, comparamos
partial Mpartial y = 1, partial Npartial x = 2y
Como 1 neq 2y, não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu(y). A condição para mu=mu(y) é que
partial Npartial x - partial Mpartial yM
seja função só de y. De fato,
2y - 1y = 2 - 1y,
que depende apenas de y. Logo
mu(y) = exp!l(integral l(2 - tfrac1yr),dyr) = expl(2y - ln yr) = e^2yy

Passo 4

Multiplicando a equação original por mu(y), obtemos
e^2y,dx + l(2x,e^2y - tfrac1yr),dy = 0
Agora
widetilde M(x,y) = e^2y, widetilde N(x,y) = 2x,e^2y - tfrac1y
são tais que
partial widetilde Mpartial y = 2e^2y, partial widetilde Npartial x = 2e^2y,
portanto a equação é exata.

Passo 5

Buscamos uma função potencial Psi(x,y) com
partial Psipartial x = widetilde M = e^2y,
logo
Psi(x,y) = x,e^2y + h(y)
Depois exigimos
partial Psipartial y = 2x,e^2y + h'(y) overset!= widetilde N = 2x,e^2y - tfrac1y,
o que dá h'(y)=-1/y e, integrando, h(y)=-ln y. Assim
Psi(x,y) = x,e^2y - ln y
A solução geral é
Psi(x,y) = C,
ou seja
x,e^2y - ln y = C

Resposta

Fator integrante: mu(y)=e^2yy Solução >=ral: x,e^2y-ln y=C çã

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