Determine se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, encontre seu limite.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
com
e pergunta se ela converge ou diverge, e em caso de convergência, qual é o seu limite. Aqui o conteúdo é análise de sequência e limites infinitos, e vamos precisar usar o fato de que exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios, além de um teste de razão para sequências.
Passo 2
Intuitivamente, quando
cresce muito, o numerador cresce de forma polinomial (linearmente) enquanto o denominador cresce de forma exponencial. Como exponencial domina polinomial, esperamos que
.
Passo 3
Para ser mais rigoroso, aplicamos o teste da razão. Definindo
calculamos a razão entre termos sucessivos:
Como
, temos
já que
. Quando a razão limite é menor que
, isso implica
.
Passo 4
Concluímos que a sequência converge e o seu limite é zero.
Resposta
A sequência converge e