Determine se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, encontre seu limite.
nc^n, c>1

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência ltfracnc^nr com c>1 e pergunta se ela converge ou diverge, e em caso de convergência, qual é o seu limite. Aqui o conteúdo é análise de sequência e limites infinitos, e vamos precisar usar o fato de que exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios, além de um teste de razão para sequências.

Passo 2

Intuitivamente, quando n cresce muito, o numerador cresce de forma polinomial (linearmente) enquanto o denominador cresce de forma exponencial. Como exponencial domina polinomial, esperamos que tfracnc^nto0.

Passo 3

Para ser mais rigoroso, aplicamos o teste da razão. Definindo
an = nc^n,
calculamos a razão entre termos sucessivos:
an+1an = tfracn+1c^,n+1tfracnc^n = n+1n,1c = 1+tfrac1nc
Como ntoinfty, temos
limntoinftyan+1an = 1c<1
já que c>1. Quando a razão limite é menor que 1, isso implica limntoinftyan=0.

Passo 4

Concluímos que a sequência converge e o seu limite é zero.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftync^n=0

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