Determine se a sequência é convergente ou divergente. Caso seja convergente, encontre seu limite.
1raizn^2+1-n

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = 1raizn^2+1-n
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente e, em caso de convergência, seu limite.

Passo 2

Para simplificar an, racionalizamos o denominador, multiplicando numerador e denominador por raizn^2+1+n:
an = 1raizn^2+1-n;cdot;raizn^2+1+nraizn^2+1+n =raizn^2+1+n(raizn^2+1)^2 - n^2 =raizn^2+1+nn^2+1 - n^2 =raizn^2+1+n

Passo 3

Agora, para ntoinfty, temos
raizn^2+1 = nraiz1+1n^2 = nl(1 + 12n^2 + o(n^-2)r) = n + 12n + o!l(n^-1r)
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an = raizn^2+1+n = 2n + 12n + o!l(n^-1r),
e esse valor cresce sem limite quando n cresce.

Passo 4

Como anto+infty conforme ntoinfty, a sequência não é convergente, mas diverge para +infty.

Resposta

A sequência diverge para +infty.

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