Encontre o fator integrante de cada equações abaixo e solucione-as.
y(x) d x+(2 x y(x)-e^-2 y(x)) d y=0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão que você trouxe. Temos a seguinte equação diferencial:
y(x) , dx + (2 x y(x) - e^-2 y(x)) , dy = 0
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais de primeira ordem e fator integrante.
O que vamos precisar para resolver:
  • Entender o que é uma equação exata.
  • Saber identificar quando precisamos de um fator integrante.
  • Calcular o fator integrante adequado.
  • Integrar para encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação dada é exata. Uma equação diferencial da forma $ M , dx + N , dy = 0 $ é exata se satisfizer:
M , dx + N , dy = 0
Vamos identificar $ M $ e $ N $:
partial Mpartial y = partial Npartial x
M
Agora, calculamos as derivadas parciais:
N
M = y(x)
Comparando as duas derivadas:
N = 2 x y(x) - e^-2 y(x)
Como não são iguais, a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 3

Quando a equação não é exata, podemos procurar um fator integrante que depende apenas de uma variável, seja $ \mu(x) $ ou $ \mu(y) $. Vamos tentar encontrar um fator integrante que depende de $ y $, ou seja, $ \mu(y) $.
Para isso, usamos a fórmula:
mu(x)
Substituindo os valores que já calculamos:
mu(y)
y
A expressão fica um pouco complicada, então vamos tentar outra abordagem. Observando a equação original, podemos reescrevê-la como:
mu(y)
Isso sugere que encontrar um fator integrante direto pode não ser trivial. Então, vamos tentar uma substituição para simplificar a equação.

Passo 4

Vamos fazer a substituição:
u = e^2 y(x)
Calculando a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
u
Agora, substituímos isso na equação original:
x
Rearranjando a equação:
dudx = 2 e^2 y(x) dydx
Isso ainda está complicado, então vamos tentar uma abordagem diferente para encontrar o fator integrante.

Passo 5

Vamos tentar encontrar o fator integrante que depende apenas de $ y $, ou seja, $ \mu(y) $. A condição para o fator integrante ser função de $ y $ é:
y
Integrando isso em relação a $ y $:
mu(y)
No entanto, essa integral é complexa e não nos leva a uma solução simples. Portanto, vamos tentar assumir que o fator integrante pode ser uma função de $ x $.

Passo 6

Assumindo que o fator integrante depende de $ x $, ou seja, $ \mu(x) $, usamos a condição:
x
Então:
mu(x)
Novamente, a presença de $ y(x) $ na integral complica a obtenção do fator integrado. Isso sugere que talvez precisemos reconsiderar nossa abordagem inicial ou reavaliar se há uma outra substituição que simplifique a equação.

Resposta

Após várias tentativas de encontrar um fator integrante adequado, percebemos que a equação inicial não se adapta facilmente às formas padrão de fator integrante dependente apenas de $ x $ ou $ y $. Portanto, uma abordagem mais eficaz seria buscar uma substituição que simplifique a equação ou usar métodos avançados para resolver equações diferenciais não exatas.
No entanto, com os passos apresentados e a análise realizada, concluímos que a equação dada requer técnicas além das abordagens básicas de fator integrante para ser resolvida.

Exercícios relacionados