Verifique quais das EDOs de primeira ordem abaixo são exatas e, nos casos de respostas positivas, determine suas respectivas soluções.
(2 x-y(x)) d x+(2 y(x)-x) d y=0.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem a EDO (2x - y),dx + (2y - x),dy = 0. O conteúdo envolve identificar se essa forma diferencial é exata e, se for, achar a solução implícita.
Defino as funções auxiliares M(x,y) = 2x - y e N(x,y) = 2y - x. Pra testar exatidão, comparamos as derivadas parciais partial M/partial y e partial N/partial x.

Passo 2

Calculo partial M/partial y = -1 e partial N/partial x = -1. Como esses valores coincidem, a forma diferencial é exata.

Passo 3

Sendo exata, existe uma potencial phi(x,y) tal que partial phi/partial x = M e partial phi/partial y = N. Integro M em relação a x:
phi(x,y) = integral (2x - y),dx = x^2 - x y + h(y),onde h é uma função de y.

Passo 4

Para encontrar h(y), uso partial phi/partial y = -x + h'(y) e igualo a N = 2y - x. Assim h'(y) = 2y, logo h(y) = y^2. Daí
phi(x,y) = x^2 - x y + y^2

Passo 5

Como a solução geral de uma EDO exata é dada por phi(x,y) = C, a família de curvas de nível dessa phi resolve a equação.

Resposta

x^2 - x y + y^2 = C

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