Verifique quais das EDOs de primeira ordem abaixo são exatas e, nos casos de respostas positivas, determine suas respectivas soluções.
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de primeira ordem. A gente tem a seguinte equação:
Nosso objetivo aqui é verificar se essa equação é exata. Se for, a gente também vai encontrar a solução dela. Para isso, vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como identificar se uma equação é desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma EDO da forma:
é exata se existir uma função $ \Phi(x, y) $ tal que:
Isso significa que as derivadas parciais de $ \Phi $ em relação a $ x $ e $ y $ correspondem às funções $ M $ e $ N $, respectivamente.
Passo 3
Agora, para verificar se a nossa equação é exata, vamos identificar $ M(x, y) $ e $ N(x, y) $:
- $ M(x, y) = 3 x^{2} y(x) $
- $ N(x, y) = x^{3} $
Em seguida, calculamos as derivadas parciais de $ M $ em relação a $ y $ e de $ N $ em relação a $ x $:
- $ \frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} $
- $ \frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} $
Passo 4
Comparando as derivadas parciais:
Como essas duas derivadas são iguais, isso confirma que a equação diferencial é exata.
Passo 5
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função $ \Phi(x, y) $ tal que:
Para isso, integramos $ M $ em relação a $ x $:
Aqui, $ h(y) $ é uma função de $ y $ que surge pela constante de integração.
Passo 6
Agora, derivamos $ \Phi(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N(x, y) $:
Isso nos dá:
Portanto, $ h’(y) = 0 $, o que implica que $ h(y) $ é uma constante. Podemos chamar essa constante de $ C $.
Passo 7
Assim, a função $ \Phi(x, y) $ fica:
Para satisfazer a equação diferencial $ \Phi(x, y) = constante $, temos:
Resposta
A equação diferencial dada é exata, e a solução geral é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.