Verifique quais das EDOs de primeira ordem abaixo são exatas e, nos casos de respostas positivas, determine suas respectivas soluções.
(x+y(x)x^2+y(x)^2) d x+(y(x)-xx^2+y(x)^2) d y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem que precisa verificar se é exata. O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) exatas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que torna uma EDO exata e, se for o caso, encontrar a solução dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando $ dx $ e $ dy $ na equação. A equação dada é:
dx
Aqui, podemos chamar:
dy
(x + y(x)x^2 + y(x)^2) dx + (y(x) - xx^2 + y(x)^2) dy = 0

Passo 3

Agora, para verificar se a EDO é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de $ M $ em relação a $ y $ e de $ N $ em relação a $ x $ e ver se elas são iguais. Ou seja, vamos calcular $ \frac{\partial M}{\partial y} $ e $ \frac{\partial N}{\partial x} $.

Passo 4

Vamos calcular $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
partial Mpartial y

Passo 5

Agora, vamos calcular $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
partial Npartial x

Passo 6

Perceba que $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{x^{2} - y{2}}{(x{2} + y{2}){2}} $ e $ \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x^{2} - y{2}}{(x{2} + y{2}){2}} $. Como essas duas derivadas são iguais, a equação é exata!

Passo 7

Agora que sabemos que a EDO é exata, podemos encontrar a solução encontrando uma função potencial $ \phi(x, y) $ tal que:
phi(x, y)
Vamos começar integrando $ M(x, y) $ em relação a $ x $:
partial phipartial x = M(x, y) e partial phipartial y = N(x, y)

Passo 8

Para integrar $ \frac{y}{x^{2} + y^{2}} $ em relação a $ x $, fazemos uma substituição simples. Note que:
yx^2 + y^2
Então, a função potencial fica:
x
Onde $ h(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $.

Passo 9

Agora, derivamos $ \phi(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N(x, y) $:
phi(x, y)
Igualando a $ N(x, y) = y - \frac{x}{x^{2} + y^{2}} $:
y
Isso implica que $ h’(y) = y $, então:
N(x, y)

Passo 10

Substituindo $ h(y) $ de volta na função potencial:
h(y)

Passo 11

A solução geral da EDO é dada pela função potencial igual a uma constante:
12x^2 + 12y^2 + arctan( xy ) = C

Resposta

A EDO é exata e sua solução geral é:
12x^2 + 12y^2 + arctan( xy ) = C

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