Verifique quais das EDOs de primeira ordem abaixo são exatas e, nos casos de respostas positivas, determine suas respectivas soluções.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem que precisa verificar se é exata. O conteúdo principal aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) exatas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que torna uma EDO exata e, se for o caso, encontrar a solução dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando $ dx $ e $ dy $ na equação. A equação dada é:
Aqui, podemos chamar:
Passo 3
Agora, para verificar se a EDO é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de $ M $ em relação a $ y $ e de $ N $ em relação a $ x $ e ver se elas são iguais. Ou seja, vamos calcular $ \frac{\partial M}{\partial y} $ e $ \frac{\partial N}{\partial x} $.
Passo 4
Vamos calcular $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
Passo 6
Perceba que $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{x^{2} - y{2}}{(x{2} + y{2}){2}} $ e $ \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x^{2} - y{2}}{(x{2} + y{2}){2}} $. Como essas duas derivadas são iguais, a equação é exata!
Passo 7
Agora que sabemos que a EDO é exata, podemos encontrar a solução encontrando uma função potencial $ \phi(x, y) $ tal que:
Vamos começar integrando $ M(x, y) $ em relação a $ x $:
Passo 8
Para integrar $ \frac{y}{x^{2} + y^{2}} $ em relação a $ x $, fazemos uma substituição simples. Note que:
Então, a função potencial fica:
Onde $ h(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $.
Passo 9
Agora, derivamos $ \phi(x, y) $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N(x, y) $:
Igualando a $ N(x, y) = y - \frac{x}{x^{2} + y^{2}} $:
Isso implica que $ h’(y) = y $, então:
Passo 10
Substituindo $ h(y) $ de volta na função potencial:
Passo 11
A solução geral da EDO é dada pela função potencial igual a uma constante:
Resposta
A EDO é exata e sua solução geral é: