Encontre a solução do problema de Valor inicial
y^2(1-x^2) d y=arcsen x d x, para y(0)=1.

Passo 1

O problema é um valor inicial de equação diferencial de primeira ordem do tipo separável. Vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis e depois integrar cada lado. A condição inicial é y(0)=1.

Passo 2

Começamos separando as variáveis. A equação é
y^2(1 - x^2),dy = arcsin(x),dx
Dividindo ambos os lados por (1 - x^2) e por y^2, obtemos
dy,y^-2 = arcsin(x)1 - x^2,dx

Passo 3

Agora integramos cada lado. No lado de y, temos
integral y^-2,dy = -y^-1 + C1
No lado de x, deixamos em forma de integral definida de 0 até x para usar a condição inicial diretamente:
integral0^x arcsin(t)1 - t^2,dt

Passo 4

Aplicando a condição inicial y(0)=1, vemos que quando x=0 a integral no lado direito vale zero, e o lado esquerdo vale -1. Logo o valor da constante cancela corretamente. Assim obtemos a relação implícita
-y^-1 + 1 = integral0^x arcsin(t)1 - t^2,dt

Passo 5

Por fim isolamos y. Invertendo e elevando ao cubo (para eliminar o inverso e obter y⁻¹), chega-se a solução explícita:
y(x) = l(1 + 3!integral0^x arcsin(t)1 - t^2,dtr)^1/3

Resposta

y(x) = \displaystyle\Bigl(1 + 3!\int_{0}^{x} \frac{\arcsin(t)}{1 - t{2}},dt\Bigr){1/3}

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