Encontre a solução do problema de Valor inicial
, para
.
Passo 1
O problema é um valor inicial de equação diferencial de primeira ordem do tipo separável. Vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis e depois integrar cada lado. A condição inicial é y(0)=1.
Passo 2
Começamos separando as variáveis. A equação é
Dividindo ambos os lados por
Passo 3
Agora integramos cada lado. No lado de y, temos
No lado de x, deixamos em forma de integral definida de 0 até x para usar a condição inicial diretamente:
Passo 4
Aplicando a condição inicial y(0)=1, vemos que quando x=0 a integral no lado direito vale zero, e o lado esquerdo vale
. Logo o valor da constante cancela corretamente. Assim obtemos a relação implícita
Passo 5
Por fim isolamos y. Invertendo e elevando ao cubo (para eliminar o inverso e obter y⁻¹), chega-se a solução explícita:
Resposta
y(x) = \displaystyle\Bigl(1 + 3!\int_{0}^{x} \frac{\arcsin(t)}{1 - t{2}},dt\Bigr){1/3}