Encontre um fator integrante e resolva a equação.
y{\prime}=e{2 x}+y+1

Passo 1

O exercício pede para encontrar um fator integrante e resolver a equação diferencial y'=e^2x+y+1. Aqui estamos diante de uma equação diferencial linear de primeira ordem, do tipo y'+P(x)y=Q(x), e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Para aplicar o método, primeiro colocamos a equação no formato padrão. Subtraindo y de ambos os lados, ficamos com
y'-y=e^2x+1

Passo 3

Na equação padrão y'+P(x)y=Q(x) temos P(x)=-1. O fator integrante mu(x) é dado por
mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral -1,dx=e^-x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=e^-x. O lado esquerdo se torna a derivada do produto mu(x)y:
e^-xy'-e^-xy=ddxl(e^-xyr)
e o lado direito é
e^-x(e^2x+1)=e^x+e^-x

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo recuperamos e^-xy, e no direito temos
integral(e^x+e^-x),dx=e^x-e^-x+C
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e^-xy=e^x-e^-x+C
Isolando y multiplicando por e^x, obtemos
y=e^2x-1+Ce^x

Resposta

A solução geral é y(x)=Ce^x+e^2x-1.

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