Encontre um fator integrante e resolva a equação dada:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede que a gente ache um fator integrante para torná-la exata e, em seguida, resolva-a. Vamos identificar
e verificar exatidão.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais
Elas não coincidem, logo a equação não é exata. Tentamos achar um fator integrante
função só de
via
Como isso depende apenas de
(é constante), temos
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
Agora ela é exata.
Passo 4
Procuramos uma função potencial
tal que
Integramos em relação a
:
Fazendo a integral por partes em cada termo, chega-se a
Para determinar
, usamos
logo
e
é constante.
Passo 5
A solução geral vem de
onde
é constante arbitrária.