Encontre um fator integrante e resolva a equação dada:
(2 x y+x^2 y+y^33) d x+(x^2+y^2) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(2xy + x^2y + tfracy^33r),dx + l(x^2 + y^2r),dy = 0
e pede que a gente ache um fator integrante para torná-la exata e, em seguida, resolva-a. Vamos identificar
M(x,y) = 2xy + x^2y + tfracy^33, N(x,y) = x^2 + y^2,
e verificar exatidão.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = 2x + x^2 + y^2, partial Npartial x = 2x
Elas não coincidem, logo a equação não é exata. Tentamos achar um fator integrante mu(x) função só de x via
partial Mpartial y-partial Npartial xN = (2x + x^2 + y^2) - 2xx^2+y^2 = x^2+y^2x^2+y^2 =1
Como isso depende apenas de x (é constante), temos
mu(x) = e^integral 1,dx = e^x

Passo 3

Multiplicamos a equação original por e^x, obtendo
e^xl(2xy + x^2y + tfracy^33r),dx + e^xl(x^2 + y^2r),dy = 0
Agora ela é exata.

Passo 4

Procuramos uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x = e^xl(2xy + x^2y + tfracy^33r)
Integramos em relação a x:
psi(x,y) = integral e^xl(2xy + x^2y + tfracy^33r),dx + h(y)
Fazendo a integral por partes em cada termo, chega-se a
psi(x,y) = e^xl(x^2y + tfracy^33r) + h(y)
Para determinar h(y), usamos
partial psipartial y = e^xl(x^2+y^2r) + h'(y) stackrel!= e^xl(x^2+y^2r),
logo h'(y)=0 e h é constante.

Passo 5

A solução geral vem de
psi(x,y) = C Longrightarrow e^xl(x^2y + tfracy^33r) = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

e^xl(x^2y + tfracy^33r) = C

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