Encontre a série de Maclaurin de e seu raio de convergência. Você pode usar o método direto (a definição de série de Maclaurin) ou ou as séries de Maclaurin listadas na Tabela 11.10.1.
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin de e seu raio de convergência. O conteúdo aqui é expansão em série de potências (série de Taylor centrada em zero) e testa-se convergência por, por exemplo, teste da razão. Vamos usar a série conhecida de e depois fazer a composição .
Passo 2
A série de Maclaurin de é, para ,
Passo 3
Basta substituir na série acima. Isso dá
Passo 4
Para achar o raio de convergência , aplicamos o teste da razão ao termo geral
Calculando
que exige lvert xrvert^4<1, ou seja lvert xrvert<1. Logo,