Encontre a série de Maclaurin de f e seu raio de convergência. Você pode usar o método direto (a definição de série de Maclaurin) ou ou as séries de Maclaurin listadas na Tabela 11.10.1.
f(x)=tg^-1(x^2)

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=tg^-1(x^2) e seu raio de convergência. O conteúdo aqui é expansão em série de potências (série de Taylor centrada em zero) e testa-se convergência por, por exemplo, teste da razão. Vamos usar a série conhecida de arctan(u) e depois fazer a composição u=x^2.

Passo 2

A série de Maclaurin de arctan(u) é, para lvert urvert<=1,
arctan(u)=sumn=0^infty(-1)^n,u^2n+12n+1

Passo 3

Basta substituir u=x^2 na série acima. Isso dá
tg^-1(x^2)=arctan(x^2) =sumn=0^infty(-1)^n,(x^2)^2n+12n+1 =sumn=0^infty(-1)^n,x^4n+22n+1

Passo 4

Para achar o raio de convergência R, aplicamos o teste da razão ao termo geral
bn=(-1)^n2n+1,x^4n+2
Calculando
limntoinftyl|tfracbn+1bnr| =limntoinfty2n+12n+3,l|xr|^4 =lvert xrvert^4,
que exige lvert xrvert^4<1, ou seja lvert xrvert<1. Logo,
R=1

Resposta

boxed tg^-1(x^2) =sumn=0^infty(-1)^n,x^4n+22n+1, R=1

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