Resolva as equações diferenciais abaixo usando o método das variáveis separáveis:
y^prime=(x+1)^2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = (x+1)^2
e pede para usar o método de variáveis separáveis. Como a derivada y'=dydx aparece isolada, vamos reescrever a equação de modo a separar y e x.

Passo 2

Reescrevendo y'=dydx, obtemos
dydx = (x+1)^2
e então separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por dx:
dy = (x+1)^2,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral dy = integral (x+1)^2,dx
No lado esquerdo, integral dy = y. No direito, usamos a regra de potência integral (x+1)^n dx = (x+1)^n+1n+1 com n=2:
integral (x+1)^2,dx = (x+1)^33

Passo 4

Incluímos a constante de integração C (unificando as constantes de ambos os lados) e escrevemos a solução geral:
y = (x+1)^33 + C

Resposta

y(x) = (x+1)^33 + C,
onde C é constante arbitrária.

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