Resolva as equações diferenciais abaixo usando o método das variáveis separáveis:
(1+x) d y-y d x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
(1+x),dy - y,dx = 0
e pede para resolver pelo método de variáveis separáveis. Ou seja, vamos reescrever de forma a isolar termos em y com dy de um lado e termos em x com dx do outro.

Passo 2

Reescrevendo a equação, temos
(1+x),dy = y,dx
Agora dividimos ambos os lados por y(1+x) para separar as variáveis:
dyy = dx1+x

Passo 3

Integramos cada membro em relação à sua variável:
integral dyy = integral dx1+x
O lado esquerdo dá ln|y| e o direito dá ln|1+x|, mais uma constante de integração C.

Passo 4

Após a integração, obtemos
ln|y| = ln|1+x| + C
Elevando exponencialmente,
|y| = e^ln|1+x| + C = e^C,|1+x|
Chamando e^C de constante arbitrária K>0, temos |y|=K,|1+x|.

Passo 5

Como K pode ser positivo ou negativo se absorvermos o sinal em outra constante C, a solução geral fica
y = C,(1+x),
onde C é uma constante real arbitrária.

Resposta

y = C,(1+x), CinR

Exercícios relacionados