Encontre um fator integrante e resolva a equação dada:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial em forma diferencial
com
É uma equação de primeiro ordem que pode ser exata se existir uma função potencial
tal que
e
. Vamos verificar exatidão e, se não for exata, procurar um fator integrante
que torne a equação exata.
Passo 2
Verificamos se já é exata calculando
Como
, não é exata. Para tentar um fator integrante que dependa só de
, usamos a condição
deve ser função apenas de
. Aqui
que é de fato função só de
. Então existe
tal que
Passo 3
Integramos para achar
:
Podemos escolher
, então
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
ou seja
com
Agora
logo é exata.
Passo 5
Como é exata, existe
tal que
Integramos em relação a
:
Para calcular essa integral, notamos a fórmula
e
Aqui e
. Fazendo as contas, chega-se a
e
Aqui
Logo
Passo 6
Para determinar
, usamos
, ou seja
Assim a função potencial é
e a solução geral implícita é
Resposta
Fator integrante:
Solução geral:
Solução geral: