Encontre um fator integrante e resolva a equação dada:
(cos (w x)+w sen(w x)) d x+e^x d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial em forma diferencial
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0
com
M(x,y)=cosl(w xr)+wsinl(w xr), N(x,y)=e^x
É uma equação de primeiro ordem que pode ser exata se existir uma função potencial phi(x,y) tal que phix=M e phiy=N. Vamos verificar exatidão e, se não for exata, procurar um fator integrante mu(x) que torne a equação exata.

Passo 2

Verificamos se já é exata calculando
partial Mpartial y=0, partial Npartial x=e^x
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, não é exata. Para tentar um fator integrante que dependa só de x, usamos a condição
1Nl(tfracpartial Mpartial y-tfracpartial Npartial xr)
deve ser função apenas de x. Aqui
1e^xl(0 - e^xr) = -1,
que é de fato função só de x. Então existe mu(x) tal que
dlnmudx = -1

Passo 3

Integramos para achar mu(x):
lnmu(x)=integral -1,dx = -x + C
Podemos escolher C=0, então
mu(x)=e^-x

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=e^-x, obtendo
l[e^-xl(cos(w x)+wsin(w x)r)r],dx + l[e^-xe^xr],dy =0
ou seja
M^*(x,y),dx + N^*(x,y),dy=0
com
M^*(x,y)=e^-xcos(w x)+w,e^-xsin(w x), N^*(x,y)=1
Agora
partial M^*partial y=0, partial N^*partial x=0,
logo é exata.

Passo 5

Como é exata, existe phi(x,y) tal que
phix = M^*(x,y)
Integramos em relação a x:
phi(x,y) =integrall[e^-xcos(w x)+w,e^-xsin(w x)r]dx + h(y)
Para calcular essa integral, notamos a fórmula
integral e^axcos(bx),dx =e^axa^2+b^2l(acos(bx)+bsin(bx)r)
e
integral e^axsin(bx),dx =e^axa^2+b^2l(asin(bx)-bcos(bx)r)
Aqui a=-1 e b=w. Fazendo as contas, chega-se a
integrall[e^-xcos(w x)+w,e^-xsin(w x)r]dx =-e^-xcos(w x)
Logo
phi(x,y)=-e^-xcos(w x)+h(y)

Passo 6

Para determinar h(y), usamos phiy=N^*(x,y)=1, ou seja
partialphipartial y=h'(y)=1 Longrightarrow h(y)=y + C
Assim a função potencial é
phi(x,y)=-e^-xcos(w x)+y,
e a solução geral implícita é
phi(x,y)=const Longrightarrow y - e^-xcos(w x)=C

Resposta

Fator integrante: mu(x)=e^-x
Solução geral: y - e^-xcos(w x)=C

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