Questão 9: Mostre que cada uma das equações seguintes define implicitamente pelo menos uma função diferenciável
. Expresse
em termos de
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para mostrar que ela define implicitamente uma função diferenciável
e calcular
e
. O conteúdo usado é o Teorema da Função Implícita, que afirma: se
é
e num ponto
tal que
tivermos
, então existe, num entorno de
, uma função diferenciável
resolvendo
.
Passo 2
Definimos
Note que
é
. Escolhemos o ponto
. De fato,
e
logo em
Pelo Teorema da Função Implícita existe, num entorno de
, uma função diferenciável
tal que
.
Passo 3
O Teorema da Função Implícita também dá as fórmulas gerais
onde
e
.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais de
:
Substituindo em
e
, obtemos