Questão 9: Mostre que cada uma das equações seguintes define implicitamente pelo menos uma função diferenciável z=z(x, y). Expresse partial zpartial x e partial zpartial y em termos de x, y, z.
e^x+y+z+x y z=1

Passo 1

O enunciado dá a equação
e^x+y+z + x,y,z = 1
e pede para mostrar que ela define implicitamente uma função diferenciável z=z(x,y) e calcular partial zpartial x e partial zpartial y. O conteúdo usado é o Teorema da Função Implícita, que afirma: se F(x,y,z) é C^1 e num ponto (x0,y0,z0) tal que F(x0,y0,z0)=0 tivermos partial Fpartial z(x0,y0,z0)neq0, então existe, num entorno de (x0,y0), uma função diferenciável z(x,y) resolvendo F(x,y,z(x,y))=0.

Passo 2

Definimos
F(x,y,z)=e^x+y+z+x,y,z-1
Note que F é C^infty. Escolhemos o ponto (x0,y0,z0)=(0,0,0). De fato,
F(0,0,0)=e^0+0cdot0cdot0-1=1-1=0,
e
partial Fpartial z(x,y,z) =e^x+y+z+x,y,
logo em (0,0,0)
partial Fpartial z(0,0,0) =e^0+0=1neq0
Pelo Teorema da Função Implícita existe, num entorno de (0,0), uma função diferenciável z(x,y) tal que F(x,y,z(x,y))=0.

Passo 3

O Teorema da Função Implícita também dá as fórmulas gerais
partial zpartial x =-FxFz, partial zpartial y =-FyFz,
onde Fx=partial F/partial x e Fy=partial F/partial y.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de F:
Fx(x,y,z) =e^x+y+z+y,z, Fy(x,y,z) =e^x+y+z+x,z, Fz(x,y,z) =e^x+y+z+x,y
Substituindo em partial zpartial x=-Fx/Fz e partial zpartial y=-Fy/Fz, obtemos
partial zpartial x =-e^x+y+z+y,z,e^x+y+z+x,y,, partial zpartial y =-e^x+y+z+x,z,e^x+y+z+x,y,

Resposta

partial zpartial x =-e^x+y+z+y,ze^x+y+z+x,y, partial zpartial y =-e^x+y+z+x,ze^x+y+z+x,y

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