Resolva as equações diferenciais abaixo usando o método dos fatores integrantes:
Passo 1
Temos a equação diferencial linear de primeira ordem
O que precisamos é aplicar o método do fator integrante, que serve para equações da forma
Passo 2
Identificamos
O fator integrante é
Para simplificar, assumimos
e tomamos
.
Passo 3
Multiplicamos toda a equação original por
:
Passo 4
Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada do produto
, pois
Portanto a equação fica
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
o que dá
Para calcular
usamos integração por partes com
e
:
Passo 6
Substituindo o resultado da integral, temos
Resposta
A solução geral é