Resolva as equações diferenciais abaixo usando o método dos fatores integrantes:
y^prime+yx=sen(x)

Passo 1

Temos a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + yx = sin(x)
O que precisamos é aplicar o método do fator integrante, que serve para equações da forma
y' + P(x),y = Q(x)

Passo 2

Identificamos
P(x)=1x, Q(x)=sin(x)
O fator integrante é
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral tfrac1x,dxr) = exp(ln|x|) = |x|
Para simplificar, assumimos x>0 e tomamos mu(x)=x.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original por mu(x)=x:
x,y' + y = xsin(x)

Passo 4

Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada do produto x,y, pois
ddxl(x,yr) = x,y' + y
Portanto a equação fica
ddxl(x,yr) = xsin(x)

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(x,yr),dx = integral xsin(x),dx + C
o que dá
x,y = integral xsin(x),dx + C
Para calcular integral xsin(x),dx usamos integração por partes com u=x e dv=sin(x),dx:
integral xsin(x),dx = -xcos(x) + integral cos(x),dx = -xcos(x) + sin(x)

Passo 6

Substituindo o resultado da integral, temos
x,y = -xcos(x) + sin(x) + C Longrightarrow y = -cos(x) + sin(x)x + Cx

Resposta

A solução geral é
y(x) = -cos(x) + sin(x)x + Cx

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