Encontre um fator integrante e resolva a equação dada:
6 x y d x+(4 y+9 x^2) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a diferencial
6x,y,dx + l(4y + 9x^2r),dy = 0
e pede para encontrar um fator integrante e resolver a equação. Aqui o conteúdo é equações diferenciais de primeira ordem não exatas, usando fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Vamos escrever M(x,y)=6x,y e N(x,y)=4y+9x^2. Calculamos
partial Mpartial y=6x, partial Npartial x=18x,
como não coincidem, a equação não é exata. Procuramos um fator integrante mu que dependa só de y. Para isso verificamos
Nx-MyM =18x-6x6x,y =12x6x,y =2y,
que depende apenas de y. Logo podemos ter mu=mu(y) tal que
mu'mu=2y Longrightarrow lnmu=integral2y,dy=2ln|y| Longrightarrow mu(y)=y^2

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por y^2:
6x,y^3,dx + l(4y^3+9x^2y^2r),dy = 0
Agora M^*(x,y)=6x,y^3 e N^*(x,y)=4y^3+9x^2y^2. Confira a exatidão:
partial M^*partial y =18x,y^2, partial N^*partial x =18x,y^2,
logo a equação ficou exata.

Passo 4

Buscamos uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x=M^*(x,y)=6x,y^3
Integrando em x:
phi(x,y)=integral 6x,y^3,dx =3x^2y^3+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 5

Agora exigimos
partial phipartial y =9x^2y^2+h'(y) stackrel!=N^*(x,y)=4y^3+9x^2y^2
Daí h'(y)=4y^3, logo
h(y)=integral 4y^3,dy=y^4
Assim
phi(x,y)=3x^2y^3+y^4

Passo 6

A solução geral implícita é
phi(x,y)=C ;Longrightarrow; 3x^2y^3+y^4=C,
com C constante arbitrária.

Resposta

3x^2y^3+y^4=C

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