Encontre um fator integrante e resolva a equação dada:
Passo 1
O enunciado dá a diferencial
e pede para encontrar um fator integrante e resolver a equação. Aqui o conteúdo é equações diferenciais de primeira ordem não exatas, usando fator integrante para torná-la exata.
Passo 2
Vamos escrever
e
. Calculamos
como não coincidem, a equação não é exata. Procuramos um fator integrante
que dependa só de
. Para isso verificamos
que depende apenas de
. Logo podemos ter
tal que
Passo 3
Multiplicamos toda a equação por
:
Agora
e
. Confira a exatidão:
logo a equação ficou exata.
Passo 4
Buscamos uma função potencial
tal que
Integrando em
:
onde
é função a determinar.
Passo 5
Agora exigimos
Daí
, logo
Assim
Passo 6
A solução geral implícita é
com
constante arbitrária.