Questão 4. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Dica para 4.(q): lembre que lim x 0 sin xx=1.
Dica para 4.® e 4.(o): lembre que 0 <= cos x <= 1, para todo x.
Dica para 4.(n): lembre que ln (n+1)-ln n=ln (n+1n).
an=1-(0,2)^n

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência an = 1 - (0,2)^n e pede para determinar se ela converge ou diverge. Caso converja, precisamos encontrar limntoinftyan. O conteúdo envolvido é o limite de sequências exponenciais e a propriedade de linearidade de limite.

Passo 2

Para qualquer constante r com lvert rrvert<1, vale
limntoinftyr^n = 0
Aqui temos r=0,2 e como lvert0,2rvert<1, concluímos
limntoinfty(0,2)^n = 0

Passo 3

Usando a propriedade de limite de soma e constante, obtemos
limntoinftyan = limntoinftyl(1 - (0,2)^nr) = 1 - limntoinfty(0,2)^n = 1 - 0 = 1

Passo 4

Como o limite existe e é finito, a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyan = 1

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